Inégalité de Bernoulli

Définition

L'inégalité de Bernoulli^[1],[2] stipule que :

$(1+x)^n>1+nx~$

pour tout entier naturel n > 1 et tout nombre nombre réel x non nul et strictement supérieur à −1.

Démonstration par récurrence

On suppose fixé un réel $\scriptstyle x\in]-1,0[\cup]0,+\infty[$ et on montre l'inégalité pour tout entier n≥2, par récurrence sur n.

• Initialisation : (1 + x)² = 1 + 2x + x² > 1 + 2x donc la propriété est vraie au rang 2.
• Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que (1 + x)^k > 1 + kx et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que (1 + x)^{k + 1} > 1 + (k + 1)x.

En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est strictement positif) on obtient :

$(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge 1+(k+1)x.$

• Conclusion :

La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 2.

Généralisation

Pour tout nombre réel r > 1 et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à −1, on a encore :

$(1+x)^r>1+rx.~$

Démonstration par étude des variations de la différence

Cette fois c'est r qu'on fixe (strictement supérieur à 1), et on étudie les variations de la fonction f définie sur $\scriptstyle D=]-1,+\infty[$ par :

$f(x)=(1+x)^r-(1+rx),~$

le but étant de montrer que f(x) > 0 pour tout x non nul appartenant à D.

La dérivée de f sur D est donnée par :

$f'(x)=r\left(1+x\right)^{r-1}-r=r\left(\left(1+x\right)^{r-1}-1\right),$

qui est du même signe que (1 + x)^{r − 1} − 1.

Mais comme r − 1 > 0, la fonction qui à tout réel positif y associe y^{r − 1} vérifie :

$\forall y\in]0,1[,\quad y^{r-1}<1^{r-1}=1\quad\text{et}\quad\forall y\in]1,+\infty[,\quad y^{r-1}>1^{r-1}=1,$

autrement dit

$\forall x\in]-1,0[,\quad(1+x)^{r-1}<1\quad\text{et}\quad\forall x\in]0,+\infty[,\quad(1+x)^{r-1}>1,$

si bien que

$\forall x\in]-1,0[,\quad f'(x)<0\quad\text{et}\quad\forall x\in]0,+\infty[,\quad f'(x)>0.$

Par conséquent, la fonction f (continue en 0) est strictement décroissante sur l'intervalle ] − 1,0] et strictement croissante sur l'intervalle $\scriptstyle[0,+\infty[$.

Comme elle s'annule en 0, on a donc bien f > 0 sur l'ensemble $\scriptstyle\left]-1,0\right[\cup \left]0,+\infty\right[$.

Notes et références

1. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Inequality », MathWorld
2. ↑ (en) Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com