Inégalité arithmético-géométrique

En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

Énoncé

Étant donnés n réels strictement positifs $x_1,\, \dots,\, x_n$, on définit leur moyenne arithmétique $\ m_a$ et leur moyenne géométrique $\ m_g$ :

$m_a = \frac{1}{n}\, (x_1 + \cdots + x_n)$ et $m_g = \sqrt[n\,]{x_1\times\cdots\times x_n}$.

L'inégalité arithmético-géométrique s'écrit alors :

$m_g \leq m_a.$

On peut également décrire le cas d'égalité

$m_g = m_a \Longleftrightarrow \forall i,j \in \{1,\ldots,n\},\ x_i=x_j.$

Démonstration

Comme $\ m_g > 0$ et $\ m_a > 0$, $m_g \leq m_a$ équivaut (par croissance stricte du logarithme) à

$\ln(m_g) \leq \ln(m_a)$,

ou encore à

$\frac{1}{n}\, \left[\,\ln(x_1) + \cdots + \ln(x_n)\right] \leq \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right)$.

Cette dernière inégalité n'est autre que l’inégalité de Jensen appliquée à la fonction logarithme népérien, et aux coefficients (tous égaux) $t_1 = \cdots = t_n = \frac{1}{n}$.

Le cas d'égalité provient du fait que le logarithme népérien est strictement concave.