Injectivité

Injection (mathématiques)

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Une application $f : X\rightarrow Y$ est dite injective ou est une injection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au plus un élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout élément y de Y admet au plus un antécédent x (par f).

De manière équivalente, f est dite injective si pour tous x et x' dans X, f(x) = f(x') implique x = x'.

Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle $\mathbb R$, alors une fonction injective $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en au plus un point.

Si une application injective est aussi surjective, elle est dite bijective.

Définition formelle

Soit f une application de E dans F. f est dite injective si $\forall (x,y) \in E^2,\, \left(x \neq y \,\Longrightarrow\, f(x) \neq f(y) \right)$ (ce qui équivaut à $\forall (x,y) \in E^2,\, \left(f(x) = f(y) \,\Longrightarrow\, x = y \right)$, plus pratique dans certain cas).

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes, X, vers l'ensemble des chambres, Y (à chaque touriste est associée une chambre).

• Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
• L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
• Ces desiderata ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est bijective.

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est injective, puisque pour tous nombres réels arbitraires x et x', si 2x + 1 = 2x' + 1, alors 2x = 2x', soit x = x'.

D'un autre côté, la fonction $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ définie par g(x) = x² n'est pas injective, parce que (par exemple) g(1) = 1 = g(−1).

D'autre part, si nous définissons la fonction $h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R$ par la même relation que g, mais avec l'ensemble de définition restreint à l'ensemble des réels positifs, alors la fonction h est injective. Une explication est que, pour des réels positifs arbitraires donnés x et x', si x² = x'², alors |x| = |x'|, ainsi x = x'.

Propriétés

• Une fonction f: X → Y est injective si et seulement si X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g: Y → X telle que $g \circ f$ soit égale à l'application identité sur X.
• Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.
• Si $g \circ f$ est injective, alors f est injective.
• Si f et g sont toutes les deux injectives, alors $g \circ f$ est injective.
• f: X → Y est injective si et seulement si, pour toutes fonctions données g,h: W → X, lorsque $f\circ g$ = $f\circ h$, alors g = h. En d'autres termes, les fonctions injectives sont précisément les monomorphismes de la catégorie des ensembles.
• Si f: X → Y est injective et A est un sous-ensemble de X, alors f ⁻¹(f(A)) = A. Ainsi, A peut être retrouvé à partir de l'image réciproque de f(A).
• Si f: X → Y est injective et A et B sont des sous-ensembles de X, alors f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
• Toute fonction h: W → Y peut être décomposée comme h = $f\circ g$ pour une injection f et une surjection g convenables. Cette décomposition est unique à un isomorphisme près, et f peut être considérée comme la fonction inclusion de l'image de h, h(W) dans un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée Y de h.
• Si f : X → Y est une fonction injective, alors Y a au moins autant d'éléments que X, au sens des cardinaux.
• Si on note $E \leq F$ la propriété « il existe une injection de l'ensemble E dans l'ensemble F», alors $\ \leq$ vérifie les propriétés d'une relation d'ordre sur les cardinaux (on ne peut pas dire néanmoins que $\ \leq$ est une relation, car elle est définie sur une classe et non sur un ensemble, en vertu du Paradoxe de Russell). La réflexivité et la transitivité ont été traitées au cours des exemples précédents, et l'antisymétrie est l'objet du Théorème de Cantor-Bernstein.
• Un morphisme f d'un groupe E dans un groupe F est injectif si et seulement si son noyau est égal à l'élément neutre du groupe E

Voir aussi

• Surjection
• Bijection
• Identification (injectivité)

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