Algèbre sur un corps

Algèbre sur un corps
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En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A , + , . , × ) telle que :

  1. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K,
  2. la loi × est définie de A x A dans A (loi de composition interne)
  3. la loi × est distributive par rapport à la loi + .
  4. pour tout (a, b) dans K2 et pour tout (x, y) dans A2, (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Sommaire

Définitions

Soient K un corps commutatif et A un espace vectoriel sur K muni de plus d'une opération binaire (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A). On dit que A est une algèbre sur K si cette opération binaire est distributive par rapport à + et bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

  • (x + y) z = x z + y z~,
  • x ( y + z) = x y + x z~,
  • (a x) (b y) = (a b) (x y)~.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Deux algèbres A et B sur K sont isomorphes s'il existe une bijection f:A\to B telle que

\forall x,y\in A,~\forall a\in K,~f(xy) = f(x) f(y)\text{ et }f(x+ay) = f(x) + af(y)~.

Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Article détaillé : algèbre sur un anneau.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères

Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne x est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une

algèbre associative sur un corps (article détaillé).

Une algèbre est dite unifère si elle admet un élément neutre 1 pour la multiplication x. Une algèbre est dite commutative, si la loi de composition interne x est commutative.

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps

Tout espace vectoriel admet une base. Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel[1].

Si a=(a_i)_{i\in I} est une base de A, il existe alors une unique famille (c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I} d'éléments du corps K tels que :

\displaystyle a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k.

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que (c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I} sont les constantes de structure[1] de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k constituent la table de multiplication de l'algèbre A[1].

Exemples d'algèbres de dimension finie

Algèbres associatives et commutatives

Une base de l'algèbre \mathbb C est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

1\times 1=1, 1\times i=i,
i\times 1=i, i\times i=-1
  • Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (\mathbf F_p=\mathbf Z / p\mathbf Z), donc son ordre est pn.

Par exemple le corps fini \mathbf F_4 est une algèbre de dimension 2 sur le corps \mathbf F_2=\mathbf Z / 2\mathbf Z dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

1\times 1=1, 1\times a=a,
a\times 1=a, a\times a=1+a
  • On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative[2]. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :
1\times 1=1, 1\times x=x,
x\times 1=x, x2 = a1 + bx

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type dépendant de la base choisie).

Algèbres associatives et non commutatives
  • L'ensemble des matrices carrées d'ordre n\geqslant2 à valeur dans \mathbb R, \left(\mathcal M_n(\mathbb R), +,\cdot, \times \right) est une \mathbb R- algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n2.
  • L'ensemble des quaternions (\mathbb H, +,\cdot, \times) est une \mathbb R- algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.
  • L'ensemble des biquaternions (\mathbb B, +,\cdot, \times) est une \mathbb C-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre \left(\mathcal M_2(\mathbb C), +,\cdot, \times \right) des matrices matrices carrées d'ordre 2 à valeur dans \mathbb C.
Algèbre unifère non associative
  • L'ensemble des octonions (\mathbb O, +,\cdot, \times) est une \mathbb R- algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.
Algèbres non associatives et non unifères

La table de multiplication dans une base orthonormale directe (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) est :

\vec{u}\wedge\vec{u} =\vec{0}, \vec{u}\wedge\vec{v} =\vec{w}, \vec{u}\wedge\vec{w} =-\vec{v},
\vec{v}\wedge\vec{u} =-\vec{w}, \vec{v}\wedge\vec{v} =\vec{0}, \vec{v}\wedge\vec{w} =\vec{u},
\vec{w}\wedge\vec{u} =\vec{v}, \vec{w}\wedge\vec{v} =-\vec{u}, \vec{w}\wedge\vec{w} =\vec{0},
  • L'ensemble des matrices carrées d'ordre n\geqslant2 à valeur dans \mathbb R, muni du crochet de Lie : [M,N] = MNNM, \left(\mathcal M_n(\mathbb R), +,\cdot, [,] \right) est une \mathbb R- algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n2. Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple

  • L'ensemble des quaternions (\mathbb H, +,\cdot, \times) n'est pas une \mathbb C-algèbre car la multiplication \times n'est pas \mathbb C-bilinéaire : i\cdot (j\times k)\neq j\times (i\cdot k).

Voir aussi

Notes et références

  1. a, b et c N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre sur un corps de Wikipédia en français (auteurs)

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