Algèbre polynomiale

Polynôme

Courbe polynomiale cubique

Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de puissances d'une ou de plusieurs indéterminées, habituellement notées X, Y, Z… Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynôme).

Un polynôme, en algèbre générale, à une indéterminée sur un anneau unitaire est une expression de la forme :

 a_0 + a_1 X^1 + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n \,

X est un symbole appelé indéterminée du polynôme, supposé être distinct de tout élément de l'anneau, et les coefficients ai sont dans l'anneau.

Si, en mathématiques appliquées, en analyse et en algèbre linéaire, il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynôme, il n'en est pas de même en algèbre générale. Cet article traite principalement du polynôme formel à une indéterminée.

Sommaire

Considérations historiques

Article détaillé : Histoire des polynômes.

L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'algèbre. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynômes. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynôme. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre générale. Les coefficients quittent alors le domaine des nombres usuels, comme les réels ou les complexes pour appartenir à des anneaux commutatifs unitaires ou des corps quelconques. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.

Polynômes formels

Article détaillé : Polynôme formel.

Un polynôme f à une indéterminée est défini comme une expression formelle de la forme

 f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_1 X + a_0 \,

où les coefficients a0,.., an sont éléments d'un anneau A, et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.

L'ensemble des polynômes à une indéterminée X à coefficients dans un anneau A, noté A[X], peut être construit à partir de l'ensemble des suites (a_i)_{i\in\mathbf{N}} à support fini (donc nulles à partir d'un certain rang, appelées également suites presque nulles) d'éléments de A, en le munissant d'une structure d'anneau. Dans cette construction un terme aXk est représenté par la suite qui est nulle partout, sauf que ak = a.

Le degré de ce polynôme est défini, si le polynôme est non nul (c'est-à-dire si ses coefficients ne sont pas tous nuls), par \max\{j\in\N ; a_j\ne 0_A\}, c'est le plus grand exposant de X devant lequel le coefficient n'est pas nul. On note généralement le degré d'un polynôme P, deg(P) ou \operatorname{d^\circ}(P). Par convention, le degré du polynôme nul vaut -\infty.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans A peuvent être ajoutés simplement par l'addition des coefficients correspondants, et multipliés en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et la règle suivante :

aX k bX l = ab X k + l pour tous les entiers naturels k et l.

On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau A forme lui-même un anneau, et que l'application de A vers cet anneau qui envoie a sur a X0 est une morphisme injectif d'anneaux. L' « anneau des polynômes à coefficients dans A » est désigné par A[X] et on considère A comme sous-anneau de A[X] par le morphisme mentionné.

Si A est commutatif, alors A[X] est une algèbre sur A.

On peut engendrer l'anneau A[X] à partir de A en adjoignant un nouvel élément X à A et en exigeant que X commute avec tous éléments de l'ensemble A. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les combinaisons linéaires de puissances de X doivent être aussi adjointes à l'ensemble.

Fonctions polynômes

Article détaillé : Fonction polynôme.

À tout polynôme f de A[X], on peut associer une fonction polynôme d'ensemble de définition et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné a en remplaçant partout le symbole X dans f par a. Les algébristes font une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale car, sur certains anneaux A (par exemple sur les corps finis), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynôme associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les « analystes » ne séparent pas les deux concepts.

Exemple : Sur le corps fini  \mathbb Z /_{\displaystyle 2 \mathbb Z}, le polynôme X + X2 est non nul, mais sa fonction polynôme associée l'est.

Morphisme d'évaluation : Plus généralement, dans un polynôme f, on peut remplacer le symbole X par n'importe quel élément x_0 \, appartenant à une algèbre E sur A. L'application qui, à tout polynôme f dans A[X], associe l'élément  f ( x_0 ) \, de E (défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en  x_0 \, de A[X] dans E. Un cas très fréquent est celui où A est un corps  \mathbb K \,, et E l'algèbre des matrices n × n sur  \mathbb K \,, ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur  \mathbb K \,. On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes :

 f ( M ) = a_n M^n + a_{n - 1} M^{n - 1} + \cdots + a_1 M + a_0 I_n \,
 f ( u ) = a_n u^n + a_{n - 1} u^{n - 1} + \cdots + a_1 u + a_0 Id_{\mathbb K} \,

Divisibilité

En algèbre commutative, c'est-à-dire dans un anneau commutatif unitaire intègre, une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps.

Coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre

Si f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f.q = g.

On peut démontrer alors que « chaque racine engendre un facteur linéaire », ou plus formellement que : si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f ( a ) = 0, alors le polynôme ( X - a ) divise f. La réciproque est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode de Horner.

Certains polynômes aux propriétés particulières se détachent alors :

  • Polynôme inversible : un polynôme P est inversible s'il existe un polynôme Q tel que P.Q = 1.
Les seuls polynômes inversibles de A[X] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans A.
  • Polynôme irréductible : Polynôme non constant dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible.
Un polynôme unitaire du premier degré est irréductible (contre-exemple : 2X+2=2(X+1) n'est pas irréductible dans  \mathbb Z[ X ]\,) .
Le polynôme   X 2 + 1   est irréductible dans  \mathbb R[ X ] \,, mais pas dans  \mathbb C [ X ] \,.
Si A est un anneau factoriel, alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. A[X] est donc aussi factoriel.
  • Polynôme premier : P est un polynôme premier si, pour tout Q et S tel que P divise Q.S , si P ne divise pas Q alors P divise S.
Dans le cas où A est factoriel, les notions de polynôme premier et polynôme irréductible sont équivalentes mais, dans les autres cas, on a seulement la propriété suivante: un polynôme premier est irréductible.
  • Polynôme primitif : Si A est un anneau factoriel, P est un polynôme primitif si le pgcd de ses coefficients est inversible.

Dans un anneau commutatif unitaire, un polynôme est dit primitif lorsque l'anneau est le plus petit idéal principal contenant les coefficients du polynôme.

  • Polynôme scindé : Un polynôme scindé est un polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré.
  X 2 + 1   est scindé sur  \mathbb C \, (il se décompose en (X + i)(X - i)) mais pas sur  \mathbb R \,.
  • Polynôme séparable : Polynôme qui peut s'écrire dans un sur-anneau intègre de A comme produit de polynômes du premier degré X - a i où tous les a i sont distincts.
  • Polynômes premiers entre eux : P et Q sont premiers entre eux si, pour tout polynôme S, si S divise P et Q alors S est inversible.
  • Polynôme unitaire : Polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1.
  • Polynôme cyclotomique : pour n \in \mathbb N^*, le n-ème polynôme cyclotomique est le produit des X − ζ avec ζ parcourant les racines n-ièmes primitives de l'unité.

Coefficients dans un corps commutatif

Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec : f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g. C'est ce que l'on appelle la division euclidienne ou «la division suivant les puissances décroissantes» de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien.

K[X] est donc un anneau euclidien (seul les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de ppcm, de pgcd avec la mise en place d'un algorithme d'Euclide de recherche de pgcd. On retrouve aussi l' identité de Bézout sur les polynômes premiers entre eux : si P et Q sont premiers entre eux, il existe deux polynômes U et V tels que UP + VQ = 1 .

Réductibilité des polynômes de ℤ[X]

Un polynôme primitif A de \mathbb{Z}[X] est irréductible si et seulement si, considéré comme polynôme de \mathbb{Q}[X] , il est irréductible dans \mathbb{Q}[X] . De plus si A = B.C dans \mathbb{Q}[X] , il existe un rationnel non nul \quad\lambda tel que \quad\lambda B et \quad \lambda ^{-1} C soient dans \mathbb{Z}[X]

Indications sur la démonstration:

  • Tout d'abord définissons l'application \quad\Gamma de \mathbb{Z} [X] dans \mathbb Z telle que pour  \quad A[X] = \sum_{k=0}^n a_k X^{n-k} , \qquad \quad\Gamma (A) = \operatorname{pgcd}(a_0, a_1, ..., a_n).

On vérifiera que pour tous \quad A, B \in\mathbb Z[X] et tout \quad p \in \mathbb Z on a \quad \Gamma (pA)= |p|\Gamma (A) et \quad\Gamma (A.B)=\Gamma (A)\ \Gamma (B).

  • Supposons alors que \quad A = B.C, avec \quad\Gamma (A) = 1, \quad B\ et\ C étant des polynômes de \mathbb Q [X]. En multipliant \quad B\ et\ C par des entiers positifs convenables \quad\beta et \quad\gamma on obtient des polynômes \quad B', C' à coefficients entiers vérifiant \quad\beta \gamma\  A = B'\ C'.

Mais \quad\Gamma (B') \Gamma (C') =\Gamma (B'.C') = \beta\gamma\ \Gamma (A) = \beta\gamma.
En posant \quad B''=B'/\Gamma (B')\ et\ C''=C'/\Gamma (C'), on a les polynômes \quad B'' et \quad C''\in\mathbb Z [X] et l'égalité \quad\beta \gamma\ A = B'.C' entraîne \quad A = B''\ C''.

  • Le cas général où l'on n'a plus nécessairement \quad\Gamma (A) = 1 se déduit sans difficulté.
Remarque

Si \quad A, B, C \in \mathbb Z [X] vérifient \ A=BC et si \quad A est unitaire alors \quad B\ et\ C sont également unitaires (au signe près).

Constructions de nouvelles structures

Elles sont de deux types : construction d'extensions sur l'anneau A[X] ou extension sur l'anneau de départ.

Corps des fractions

Article détaillé : Fraction rationnelle.

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre, il en est de même de son anneau de polynôme, on peut donc construire son corps des fractions, appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans A et d'indéterminée X.

Corps de rupture

Article détaillé : Corps de rupture.

La seconde structure conduit à tout le domaine des extensions.

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre et si P est un polynôme premier de A[X], on peut construire un anneau commutatif unitaire intègre contenant A dans lequel P possède une racine.

Si P est un polynôme irréductible (i.e. premier) de K[X], on peut construire un corps commutatif contenant K dans lequel P possède une racine. C'est le corps de rupture de P.

La stratégie de construction nécessite la maîtrise des anneaux et de leurs idéaux. On considère l'idéal I engendré par P . Il est premier si les coefficients sont dans un anneau, il est maximal si les coefficients sont dans un corps. On construit alors l'anneau quotient A[X]/I ou K[X]/I qui se trouve être un anneau commutatif unitaire intègre ou un corps.

On plonge alors A dans cet anneau AP par le morphisme injectif qui, à l'élément a, associe \dot a la classe de a. Et on note r la classe de X. Le calcul de P(r) revient à déterminer la classe de P. Comme P est dans l'idéal I, sa classe est nulle donc P(r) = 0.

Il est possible de réitérer ce processus jusqu'à obtenir un corps contenant toutes les racines. Ce corps s'appelle le corps de décomposition.

Un corps est algébriquement clos quand il est inutile de chercher des corps de rupture. C’est-à-dire quand tous les polynômes sont scindés. C'est le cas en particulier de \mathbb C.

Autres opérations sur les polynômes

Polynôme dérivé

Sur A[X], si P est le polynôme défini par P(X) = \sum_{i=0}^n a_iX^i, le polynôme dP défini par {\rm d}P(x) =  \sum_{i=1}^n i a_iX^{i-1} si n est non nul et par 0 sinon s'appelle le polynôme dérivé de P.

L'application d de A[X] dans A[X] est un morphisme de modules et donc de groupes vérifiant d(PQ) = PdQ + QdP. À ce titre, c'est une application de dérivation, dans un anneau.

Une propriété importante du polynôme dérivé est le fait qu'une racine est multiple si et seulement si elle est aussi racine du polynôme dérivé. En effet, dire qu'une racine r est multiple pour un polynôme P c'est dire qu'il existe n strictement supérieur à 1 et un polynôme Q[X] tel que P[X] = (Xr)nQ[X]. Un simple calcul de dérivé montre alors que dP[X] = n(Xr)n − 1Q[X] + (Xr)ndQ[X].


Division

Article détaillé : Division d'un polynôme.

Si K est un corps commutatif, l'anneau K[X] dispose de deux divisions. La première est euclidienne et confère à l'ensemble des polynômes une structure d'anneau euclidien permettant d'y développer une arithmétique des polynômes un peu analogue à celle des entiers. Cet arithmétique s'avère importante pour la factorisation des polynômes. La deuxième est dite selon les puissances croissantes. Elle est utile dans la recherche d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle ou d'un développement limité.

Polynôme en plusieurs indéterminées

Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X].

Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme.

X^3 + 3XYZ^2 - 5Y + 7\,

est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées

Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutation est un domaine important de l'algèbre.

Ces polynômes sont également dits multivariés, par opposition aux polynômes univariés, à une seule variable.

Voir aussi

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