Algèbre Graduée

Algèbre graduée

En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre (ou un anneau commutatif) dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation.

Définition

Soit K un corps (ou éventuellement un anneau commutatif). Une algèbre A est dite graduée (parfois \N-graduée) s'il existe une famille de sous-espaces vectoriels (A_i)_{i\in\N} de A tels que

  • A = \bigoplus_{i\in\N}A_i
  • \forall i,j\in\N,\;A_iA_j\subset A_{i+j}.

Les éléments de Ai sont appelés homogènes de degré i. Un idéal est dit homogène si, pour chaque élément a qu'il contient, il contient également les parties homogènes de a.

Tout anneau (non gradué) A peut être doté d'une graduation en posant A0 = A, et Ai = 0 pour tout i > 0. Cette structure est appelée graduation triviale de A.

Exemples

  • Les anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées A[X1,X2,...], pour lesquels les éléments homogènes (de degré k) sont des combinaisons linéaires de monômes X_1^{n_1} X_2^{n_2}... de même degré total k.
  • L'algèbre tensorielle T(V) sur un espace vectoriel V, où les éléments homogènes de degré n sont les tenseurs de la forme v_1\otimes v_2\otimes\dots\otimes v_n.
  • L'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) sont des algèbres graduées. Plus généralement, si un idéal I d'une algèbre graduée A est gradué (i.e. I=\bigoplus_{i\in\N}A_i\cap I), le quotient A / I est également gradué.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Alg%C3%A8bre gradu%C3%A9e ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre Graduée de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Algebre graduee — Algèbre graduée En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre (ou un anneau commutatif) dotée d une structure supplémentaire, appelée graduation. Définition Soit K un corps (ou éventuellement un anneau commutatif) …   Wikipédia en Français

  • Algèbre graduée — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre dotée d une structure supplémentaire, appelée graduation. Définition Soit A une algèbre sur un corps (ou plus… …   Wikipédia en Français

  • Algebre exterieure — Algèbre extérieure Hermann Grassmann, date inconnue. En algèbre et en analyse vectorielle, l algèbre extérieure d un espace vectoriel E est une algèbre graduée, notée Λ * E. Une présentation informelle de cette algèbre est donnée dans la première …   Wikipédia en Français

  • Algèbre Extérieure — Hermann Grassmann, date inconnue. En algèbre et en analyse vectorielle, l algèbre extérieure d un espace vectoriel E est une algèbre graduée, notée Λ * E. Une présentation informelle de cette algèbre est donnée dans la première partie ci dessous …   Wikipédia en Français

  • Algèbre de Grassmann — Algèbre extérieure Hermann Grassmann, date inconnue. En algèbre et en analyse vectorielle, l algèbre extérieure d un espace vectoriel E est une algèbre graduée, notée Λ * E. Une présentation informelle de cette algèbre est donnée dans la première …   Wikipédia en Français

  • Algebre de Clifford — Algèbre de Clifford En mathématiques, les algèbres de Clifford sont des algèbres associatives importantes au sein des théories des formes quadratiques, des groupes orthogonaux et en physique. Elles peuvent être vues comme l une des… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre De Clifford — En mathématiques, les algèbres de Clifford sont des algèbres associatives importantes au sein des théories des formes quadratiques, des groupes orthogonaux et en physique. Elles peuvent être vues comme l une des généralisations possibles des… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre de Clifford du plan euclidien) — Algèbre de Clifford En mathématiques, les algèbres de Clifford sont des algèbres associatives importantes au sein des théories des formes quadratiques, des groupes orthogonaux et en physique. Elles peuvent être vues comme l une des… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre de clifford — En mathématiques, les algèbres de Clifford sont des algèbres associatives importantes au sein des théories des formes quadratiques, des groupes orthogonaux et en physique. Elles peuvent être vues comme l une des généralisations possibles des… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre extérieure — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). Hermann Grassmann, date inconnue. En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”