Algèbre (structure)

Algèbre sur un corps

En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit:

(E, \mathbb K, +,\cdot, \times) est une algèbre sur un corps \mathbb K, ou autrement dit une \mathbb K- algèbre si :

  1. (E, +, ·) est un espace vectoriel sur \mathbb K
  2. la loi × est définie de E x E dans E (loi de composition interne)
  3. la loi × est distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi + .
  4. pour tout (a, b) dans \mathbb K^2 et pour tout (x, y) dans E2, (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Sommaire

Définitions

Soient \mathbb K un corps et A un espace vectoriel sur \mathbb K contenant l'opération binaire (c'est-à-dire \forall x, y \in A, xy\,, est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que \forall x, y, z \in A\, (vecteurs) et \forall a, b \in \mathbb K\, (scalaires), ces identités sont vraies :

  • (x + y) z = x z + y z\,;
  • x ( y + z) = x y + x z\,;
  • (a x) (b y) = (a b) (x y)\,,

alors A est une algèbre sur \mathbb K. On dit que A est une \mathbb K-algèbre où \mathbb K est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

\mathbb K peut être un anneau commutatif, dans ce cas, A et \mathbb K forment un module. Dans ce cas, A est une \mathbb K-algèbre et \mathbb K est l'anneau de base de A.

Deux algèbres A et B sur \mathbb K sont isomorphes s'il existe une bijection f : A \rightarrow B telle que f(xy) = f(x)f(y) \forall x,y \in A.

Propriétés

Exemples

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Alg%C3%A8bre sur un corps ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre (structure) de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Structure algebrique — Structure algébrique En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d être formée d’un ensemble combiné à une ou… …   Wikipédia en Français

  • Structure algébrique — En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de… …   Wikipédia en Français

  • Algebre universelle — Algèbre universelle L algèbre universelle est la branche de l algèbre qui a pour but de traiter de manière générale et simultanée les différentes structures algébriques : groupes, monoïdes, anneaux, espaces vectoriels, etc. Elle permet de… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre Universelle — L algèbre universelle est la branche de l algèbre qui a pour but de traiter de manière générale et simultanée les différentes structures algébriques : groupes, monoïdes, anneaux, espaces vectoriels, etc. Elle permet de définir de manière… …   Wikipédia en Français

  • Algebre semi-simple — Algèbre semi simple En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une A algèbre L, où A désigne un anneau, est qualifiée de semi simple ou de complètement réductible si et seulement si la structure d anneau associé à L l est Elle est… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre Semi-simple — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une A algèbre L, où A désigne un anneau, est qualifiée de semi simple ou de complètement réductible si et seulement si la structure d anneau associé à L l est Elle est présente dans de… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre semi-simple — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une A algèbre L, où A désigne un anneau, est qualifiée de semi simple ou de complètement réductible si et seulement si la structure d anneau associé à L l est Elle est présente dans de… …   Wikipédia en Français

  • ALGÈBRE — L’algèbre au sens moderne, à savoir l’étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s’est dégagée que très progressivement au cours du XIXe siècle, en liaison avec le mouvement général d’axiomatisation de… …   Encyclopédie Universelle

  • Algebre d'un groupe fini — Algèbre d un groupe fini En mathématiques, l algèbre d un groupe fini s inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d un groupe fini. Une algèbre d un groupe fini est la donnée d un groupe fini, d un espace vectoriel de dimension l… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre D'un Groupe Fini — En mathématiques, l algèbre d un groupe fini s inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d un groupe fini. Une algèbre d un groupe fini est la donnée d un groupe fini, d un espace vectoriel de dimension l ordre du groupe et d une… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”