Independance algebrique

Indépendance algébrique

En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble sur un corps décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.

Définition

Soient L un corps, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement indépendant sur K si les éléments de S ne sont racines d'aucun polynôme non trivial à coefficients dans K.

En d'autres termes, pour tout suite finie $(\alpha_1, \ldots ,\alpha_n)$ d'éléments distincts de S et tout polynôme non-trivial $P(x_1, \ldots ,x_n)$ à coefficients dans K on a

$P(\alpha_1, \dots ,\alpha_n) \ne 0$.

En particulier, un ensemble à un seul élément {α} est algébriquement indépendant sur K si et seulement si α est transcendant sur K.

Exemples

Le sous-ensemble $\{ \sqrt {\pi};2\pi +1 \}$ du corps des nombres réels $\mathbb R$ n'est pas algébriquement indépendant du corps des nombres rationnels $\mathbb Q$ puisque le polynôme $P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1$ n'est pas trivial et à coefficients dans $\mathbb Q$ et $P(\sqrt {\pi},2\pi +1)=0$.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement indépendants sur $\mathbb Q$.

On ne sait pas si l'ensemble {π,e} est algébriquement indépendant sur $\mathbb Q$. Yu Nesterenko a prouvé en 1996 que {π,e^π,Γ(1 / 4)} l'est.

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