Algorithme de Toom-Cook

Algorithme Toom-Cook

Toom-Cook, aussi appelé Toom-3, est une technique de multiplication utilisée pour multiplier deux grands nombres. Ces grands nombres sont découpés en plus petits nombres sur lesquels on effectuera les calculs.

Multiplier deux nombres revient à multiplier deux polynômes


A(x)
=
\begin{bmatrix}
  x^2 & x^1 & x^0
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
  a_2 & a_1 & a_0
\end{bmatrix}^T

et


B(x)
=
\begin{bmatrix}
  x^2 & x^1 & x^0
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
  b_2 & b_1 & b_0
\end{bmatrix}^T

ce qui donne un troisième polynôme


P(x)
=
A(x)*B(x)
=
\begin{bmatrix}
  x^4 & x^3 & x^2 & x^1 & x^0
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
  p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0
\end{bmatrix}^T

En l'évaluant en cinq points


\begin{bmatrix}
  P(\infty) \\
  P( 2)     \\
  P(-1)     \\
  P( 1)     \\
  P( 0)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   1 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
  16 &  8 & 4 &  2 & 1 \\
   1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
   1 &  1 & 1 &  1 & 1 \\
   0 &  0 & 0 &  0 & 1
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
  p_4 \\
  p_3 \\
  p_2 \\
  p_1 \\
  p_0
\end{bmatrix}

ses coefficients peuvent être déterminés


\begin{bmatrix}
  p_4 \\
  p_3 \\
  p_2 \\
  p_1 \\
  p_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   1 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
  16 &  8 & 4 &  2 & 1 \\
   1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
   1 &  1 & 1 &  1 & 1 \\
   0 &  0 & 0 &  0 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
*
\begin{bmatrix}
  P(\infty) \\
  P( 2)     \\
  P(-1)     \\
  P( 1)     \\
  P( 0)
\end{bmatrix}

Ce calcul nécessite cinq multiplications trois fois plus simples et quelques additions


\begin{bmatrix}
  p_4 \\
  p_3 \\
  p_2 \\
  p_1 \\
  p_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   1 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
  16 &  8 & 4 &  2 & 1 \\
   1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
   1 &  1 & 1 &  1 & 1 \\
   0 &  0 & 0 &  0 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
*
\begin{bmatrix}
  A(\infty)*B(\infty) \\
  A( 2)*B( 2)         \\
  A(-1)*B(-1)         \\
  A( 1)*B( 1)         \\
  A( 0)*B( 0)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   1 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
  16 &  8 & 4 &  2 & 1 \\
   1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
   1 &  1 & 1 &  1 & 1 \\
   0 &  0 & 0 &  0 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
*
\begin{bmatrix}
  a_2*b_2                         \\
  (4a_2+2a_1+a_0)*(4b_2+2b_1+b_0) \\
  (a_2-a_1+a_0)*(b_2-b_1+b_0)     \\
  (a_2+a_1+a_0)*(b_2+b_1+b_0)     \\
  a_0*b_0
\end{bmatrix}

La complexité est donc

O(n^{\log _3 (5)}) \simeq O(n^{1.465})

Voir aussi

Références

  • Тоом Андрей Леонович, О сложности схемы из функциональных элементов, реализующей умножение целых чисел, Доклады Академии Наук СССР, T.150, N°3, pagg.496-498 [1]
  • D. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 2. Troisième édition, Addison-Wesley, 1997.
  • R. Crandall & C. Pomerance. Prime Numbers - A Computational Perspective. Seconde édition, Springer, 2005.
  • Toom 3-Way Multiplication, documentation de GMP
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