Identité de Newton

Identités de Newton

En algèbre, les identités de Newton fournissent, dans les espaces de polynômes en plusieurs variables, un lien entre les polynômes symétriques élémentaires et les sommes de Newton, c'est-à-dire les sommes de puissances des indéterminées.

Dans un anneau $K[T_1,\dots,T_n]$ de polynômes à coefficients dans un corps, les sommes de Newton sont les polynômes de la forme :

$S_k(T_1,\dots,T_n)=T_1^k+\dots+T_n^k,$

pour chaque entier positif k. Les polynômes symétriques élémentaires sont les polynômes $\sigma_i(T_1,\dots,T_n)$, pour $0\leq i\leq n$ définis par :

$\prod_{k=1}^n (X+T_k)=\sum_{i=0}^n\sigma_i(T_1,\dots,T_n)X^{n-i}.$

En particulier, $\sigma_1(T_1,\dots,T_n)=T_1+\dots+T_n$, et $\sigma_n(T_1,\dots,T_n)=T_1\times\dots\times T_n$. Les identités de Newton relient ces deux familles de polynômes, elles s'écrivent :

$(-1)^hh\sigma_h(T_1,\dots,T_n)=\sum_{i=0}^{h-1} (-1)^{i-1}\sigma_i(T_1,\dots,T_n)S_{h-i}(T_1,\dots,T_n)\quad(\mbox{pour } 1\leq h\leq n).$

Le premier membre s'exprime donc comme un polynôme en les sommes de Newton et les polynômes symétriques élémentaires de degré inférieur. Dans un corps de caractéristique nulle, ceci montre que l'algèbre engendrée par les sommes de Newton contient l'algèbre engendrée par les polynômes symétriques élémentaires ; il s'agit de l'algèbre des polynômes symétriques.

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