Hiérarchie de Borel

La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable.

Notations préliminaires

Soit $\mathcal{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $\quad X$. On note $\mathcal{F}_{\sigma}$ l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de $\mathcal{F}$:

$\mathcal{F}_{\sigma} = \bigg\{ \bigcup_{n\in \N} A_n \mid (A_n)_{n\in \N} \subset \mathcal{F}\bigg\}.$

et $\mathcal{F}_{\delta}$ l'ensemble des intersections dénombrables de $\mathcal{F}$:

$\mathcal{F}_{\delta} = \bigg\{\bigcap_{n\in \N} A_n \mid (A_n)_{n\in \N} \subset \mathcal{F}\bigg\}.$

On note par ailleurs ω₁ le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.

Définition de la hiérarchie de Borel

Soit un espace topologique métrisable $(X,\mathcal{T})$.

On initialise une induction transfinie sur l'ordinal $\alpha\in\omega_1$ en notant $\mathbf{\Sigma}_1^0$ l'ensemble des ouverts de X (en d'autres termes $\mathbf{\Sigma}_1^0=\mathcal{T}$), et $\mathbf{\Pi}_1^0$ l'ensemble des fermés.

Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :

$\mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0=(\bigcup_{\beta<\alpha} \mathbf{\Pi}_{\beta}^0)_{\sigma},$

$\mathbf{\Pi}_{\alpha}^0=(\bigcup_{\beta<\alpha} \mathbf{\Sigma}_{\beta}^0)_{\delta}.$

Finalement pour chaque ordinal dénombrable α, on note:

$\mathbf{\Delta}_{\alpha}^0 = \mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0 \cap \mathbf{\Pi}_{\alpha}^0.$

Par exemple $\mathbf{\Delta}_{1}^0$ est l'ensemble des parties de $\quad X$ qui sont à la fois ouvertes et fermées. Les ensembles $\mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0$, $\mathbf{\Pi}_{\alpha}^0$ et $\mathbf{\Delta}_{\alpha}^0$ sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour $\alpha\in\omega_1$) est appelée la hiérarchie de Borel.

Propriétés élémentaires

• Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables ;

• Pour chaque ordinal dénombrable α, $\mathbf{\Pi}_{\alpha}^0$ et $\mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0$sont complémentaires ;

• Pour tout ordinal dénombrable α, $\mathbf{\Delta}_{\alpha}^0$ est une algèbre d'ensembles.

• Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :

$\begin{matrix} & & \mathbf{\Sigma}^0_1 & & & & \mathbf{\Sigma}^0_2 & & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ \mathbf{\Delta}^0_1 & & & & \mathbf{\Delta}^0_2 & & & & \cdots \\ & \searrow & & \nearrow & & \searrow \\ & & \mathbf{\Pi}^0_1 & & & & \mathbf{\Pi}^0_2 & & \cdots \end{matrix}\begin{matrix} & & \mathbf{\Sigma}^0_\alpha & & & \cdots \\ & \nearrow & & \searrow \\ \quad \mathbf{\Delta}^0_\alpha & & & & \mathbf{\Delta}^0_{\alpha + 1} & \cdots \\ & \searrow & & \nearrow \\ & & \mathbf{\Pi}^0_\alpha & & & \cdots \end{matrix}$

Exhaustion de la tribu borélienne

Si on note $\mathcal{B}$ la tribu borélienne sur X, on peut montrer que:

$\mathcal{B} = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \mathbf{\Sigma}_{\alpha}^0 = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \mathbf{\Pi}_{\alpha}^0 = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \mathbf{\Delta}_{\alpha}^0 .$

Voir aussi

• Théorie descriptive des ensembles
• Hiérarchie arithmétique
• Hiérarchie de croissance rapide
• Hiérarchie de Wadge (en)
• Hiérarchie de VeblenFonction de Veblen

Références

S.M. Srivastava, A course on Borel sets, Springer, 1991, p. 115-117