Aleph-un
Cet article court présente un sujet plus développé dans : Aleph (nombre).

En théorie des ensembles les alephs sont les cardinaux des ensembles bien ordonnés infinis, et ℵ1 (lire Aleph-un) est le plus petit d'entre eux qui ne soit pas dénombrable, c'est-à-dire le plus petit qui soit strictement supérieur à ℵ0, cardinal de l'ensemble des entiers naturels[1] ; ℵ1 est aussi le cardinal de l'ensemble des ordinaux dénombrables (dit autrement le cardinal associé à l'ordinal de Hartogs de l'ensemble des entiers naturels)[2].

Il n'existe aucun ensemble dont le cardinal soit strictement compris entre ℵ0 et ℵ1. En présence de l'axiome du choix, tous les ensembles pouvant être bien ordonnés, ℵ1 est le plus petit cardinal infini non dénombrable.

L'hypothèse du continu de Cantor est que la puissance du continu, le cardinal de l'ensemble des réels, noté 20 ou \mathfrak c, égale ℵ1.

Notes et références

  1. Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, Presses universitaires de France, Paris (1972), p. 47. Cette référence ne s'arrête pas à \aleph_1 mais énonce directement la caractérisation similaire de \aleph_{\alpha+1}, où α est un ordinal quelconque.
  2. (en) Yiannis Moschovakis, Notes on set theory, Springer, 2000 (ISBN 9780387287232)  p. 124 et 186. Là aussi c'est \aleph_{\alpha+1} dont la définition est présentée.

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