Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet est l'auteur du théorème explicitant la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers algébriques. Cet article traite d'un cas particulier du théorème.

En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, le groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques est composé de tous les éléments de l'anneau ayant un inverse pour la multiplication. Cet ensemble, munis de la multiplication, forme une structure de groupe abélien.

Un anneau d'entiers quadratiques est un anneau, c'est-à-dire une structure disposant de deux opérations, l'addition et la multiplication inclus dans l'ensemble des nombres complexes, et tel que tous les éléments soit composés d'entiers algébriques c'est-à-dire d'élément racine de polynômes à coefficients dans les entiers relatifs et dont le coefficient du monôme dominant est égal à 1. Dire que l'anneau est unitaire revient à dire que 1 est élément de l'anneau.

La structure du groupe dépend de la nature du corps quadratique. S'il contient des éléments non réels, c'est-à-dire dont la composante imaginaire pure n'est pas réduite à 0, alors le groupe est cyclique. Dans le cas contraire, le corps est dit totalement réel et le groupe est isomorphe, soit à Z/2Z, soit à Z/2Z x Z.

Un tel groupe représente ce que Dirichlet appelle une obstruction, s'il est trop vaste, ce qui est le cas pour les corps quadratiques totalement réels. À la différence des autres nombres, il n'est pas possible de décomposer une unité en facteurs premiers. Il est parfois utile de bien connaître la structure du groupe des unités. Il est l'objet d'un théorème dit des unités de Dirichlet qui s'applique à tous les groupes des unités des anneaux d'entiers algébriques qui généralise la notion d'entiers quadratiques.

Les applications de la connaissance du groupes des unités sont diverses en arithmétique. L'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne, c'est-à-dire à coefficients entiers et dont les solutions recherchées sont entières dont la résolution d'un cas particulier revient exactement à la détermination du groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques. La démonstration du dernier théorème de Fermat pour des valeurs pas trop particulières du paramètre n demande l'explicitation des racines n^ièmes de l'unité d'un anneau d'entiers algébriques. Dans le cas où n est égal à 3 ou à 5, certaines démonstrations utilisent des anneaux d'entiers quadratiques. Enfin l'article Entier quadratique de Q(√5) montre que l'étude de son groupe des unités permet une démonstration de la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci.

Structure du groupe des unités

Décors

Article détaillé : Entier quadratique.

Dans tout l'article, Z désigne l'anneau des entiers relatifs, Q le corps des nombres rationnels, R celui des nombres réels et C celui des complexes. Pour tout anneau d'entiers quadratiques, l'article détaillé montre l'existence d'un entier ω tel que l'anneau est égal à Z[ω], c'est-à-dire composé des éléments de la forme a + b..ω, où a et b sont des entiers. La valeur ω peut prendre deux formes distinctes, il existe un entier non carré parfait d tel que ω est égal à √d ou, si d est congru à 1 modulo 4, ω peut être égal à 1/2(1 + √d). L'entier d peut être négatif, la justification du radical √ associé à un nombre strictement négatif se trouve dans l'article détaillé. L'anneau des entiers est inclus dans le corps Q[ω] composé des éléments de la forme a + b..ω, où a et b sont des rationnels. Le corps Q[ω] est égal à Q[√d].

L'application conjuguée désigne celle qui à un élément de Q[√d], c'est-à-dire un élément du corps quadratique, a + b.√d associe a - b.√d. Dans la suite de l'article, le conjugué d'un entier quadratique α est noté α_c. Cette application est un automorphisme de corps et sa restriction à l'anneau Z[ω] est aussi un automorphisme (cette fois d'anneau). L'application norme associe à un élément du corps le produit de cet élément avec son conjugué. La norme est à valeur dans les nombres rationnels. La restriction de la norme à l'anneau des entiers est à valeur dans Z. L'expression de la norme est la suivante :

$\forall a,b \in \mathbb Z \quad \begin{align} (1)\quad \omega &= \sqrt d \quad &\mathcal N(a + b.\omega) &= a^2 - d.b^2 \\ (2)\quad \omega &= \frac 12 (1 + \sqrt d) \quad &\mathcal N(a + b.\omega) &= a^2 + ab - \frac {d-1}4b^2 \end{align}$

Une première propriété permet d'y voir un peu plus clair sur le groupe des unités :

• Un élément de l'anneau Z[ω] est inversible si, et seulement si, sa norme est, en valeur absolue égale à 1, l'inverse du nombre est alors soit son conjugué soit l'opposé de son conjugué.

En effet, soit α un élément de Z[ω]. S'il est de norme 1, alors soit α._c, soit α(-α_c) est égal à 1. Comme α' et -α_c sont élément de l'anneau, α est bien inversible. Réciproquement supposons que β soit l'inverse de α, alors la norme de α.β est égale à 1. La norme de α est un entier qui divise 1. Il n'en existe que 2, soit 1 soit -1. Ce qui démontre la proposition.

Remarque, si d est sans facteur carré, et, si dans le cas où d est congru à 1 modulo 4, ω est égal à 1/2(1 + √d) alors l'anneau est un peu particulier car il est la fermeture intégrale du corps quadratique. Cette spécificité n'intervient pas ici.

Théorème des unités de Dirichlet

Article détaillé : Théorème des unités de Dirichlet.

Ce théorème structurant est un cas particulier de celui démontré^[1] par Dirichet sur l'anneau des entiers d'un corps algébrique quelconque. Deux configurations se présentent. Soit d est négatif, l'anneau n'est pas inclus dans R et la situation est relativement simple :

• Si d est négatif, le groupe des unités est un groupe cyclique. Il contient 4 éléments si d = -1, 6 si d = -3 et 2 sinon.

La situation est plus complexe si d est positif, l'anneau est inclus dans R et le groupe des unités est infini :

• Si d est positif, le groupe des unités est isomorphe au produit direct d'un groupe cyclique d'ordre deux et d'un groupe monogène d'ordre infini.

Un groupe monogène d'ordre infini est isomorphe à celui des entiers relatifs Z, le groupe des unités est isomorphe à Z/2Z, le groupe des unités est isomorphe à Z/2Z x Z. Si le groupe isomorphe choisi est additif, le groupe des unités est évidemment multiplicatif^[2].

Un exemple de groupe des unités d'ordre infini est donnée dans l'article Entier du corps quadratique Q(√5).

Démonstrations

• Si d est négatif, le groupe des unités est cyclique et inclus dans celui des racines de l'unité :

Si d est égal à -1, le groupe est cyclique d'ordre 4 (cf Entier de Gauss), si d est égal à -3, le groupe est cyclique d'ordre 6 (cf Entier d'Eisenstein).

Sinon, il suffit de chercher les éléments de norme ±1. La norme d'un entier quadratique a + b.ω est soit égal à a² - d.b² si d n'est pas congru à 1 modulo 4, soit à (a - 1/2b)² - d.b²/4 sinon. On remarque qu'elle est la somme de deux termes positifs, elle est donc positive. Si d est égal à -2, il n'est pas congru à 1 modulo 4 et il est de la forme a² - d.b². Le terme - d.b² ne peut que être nul si a + b.ω est une unité, les deux seules valeurs possibles de a étant ±1. Ce raisonnement s'applique encore pour les cas restants, c'est-à-dire ceux où |d| est strictement plus grand que 4.

• Si d est strictement positif, le groupe des unités est isomorphe au produit direct d'un groupe cyclique d'ordre deux et d'un groupe monogène d'ordre infini :

Le groupe des unités de Z[ω] est noté Z[ω]^*. On note α_c le conjugué de α, si α est un élément de Q[ω] et soit ψ l'application de Q[ω]^* dans R² qui à α associe (ln(|α|), ln(|α_c|)), ici ln désigne la fonction logarithme. L'application ψ est un morphisme du groupe multiplicatif (Q[ω]^*, .) dans le groupe additif (R², + ). La restriction de ψ à Z[ω]^* est aussi un morphisme de groupe. Enfin, soit H le sous-espace vectoriel de R² des couples (x, y) tel que x + y soit égal à zéro. On remarque qu'un élément de Z[ω] est une unité si, et seulement si son image est dans H.

• Le noyau de la restriction de ψ à Z[ω]^* est le groupe cyclique d'ordre deux {-1, 1} :

Le noyau de la restriction est composé des éléments α de Z[ω]^* tel que le logarithme de la valeur absolue de α et de α_c soit égal à zéro. En conséquence α est égal à ±1.

• L'image de Z[ω]^* par ψ est un sous-groupe discret de H :

Il suffit pour cela de montrer qu'il n'existe un ensemble fini de points de norme (au sens euclidien) bornée, c'est-à-dire inférieure à un réel strictement positif B. Soit α un élément de Z[ω]^* dont l'image par ψ est de norme inférieure à B et a, b les deux entiers relatifs tel que α = a + b.ω. On remarque que la norme euclidienne de α_c est égale à celle de α et donc est plus petite que B. La valeur 2.a est égal à α + α_c et est inférieur à 2B, de même 2.b est égal à α - α_c est aussi inférieur à 2.B. Il n'existe qu'un nombre fini d'éléments de Z[ω] satisfaisant ces deux propriétés, il n'en existe a fortiori qu'un nombre fini dans Z[ω]^*. L'image de Z[ω]^* par ψ est donc un sous-groupe discret de H.

• Soit un nombre réel B strictement positif, il existe une infinité d'éléments de Z[ω] dont la norme en valeur absolue est plus petite que B.

L'argument utilisé est géométrique, il correspond à l'usage du théorème de Minkowski sur un réseau, ici de R². Un réseau de R² est un sous-groupe discret. Graphiquement, il correspond à un quadrillage constitué par les 4 sommets n.u + m.v où u et v sont deux vecteurs libres de R² et n et m des éléments de Z. Le volume fondamental du réseau est égal à la surface du parallélogramme constitué par les quatre points 0, u, v, u + v. Le théorème de Minkowski indique qu'un rectangle centré en (0,0) et de surface strictement supérieure à 4 fois celle du volume fondamental contient au moins un point du réseau différent du point nul.

On construit une suite de points correspondant à des éléments α_n de Z[ω], dont la norme est en valeur absolue toujours plus petite que B, et une suite de rectangles. La largeur du rectangle diminue chaque fois suffisamment pour être certain que les points précédents de la suite d'éléments de Z[ω] ne puissent faire partie du nouveau rectangle. La hauteur du rectangle augmente suffisamment pour que le théorème de Minskowski nous assure de l'existence d'un point de Z[ω] dans le nouveau rectangle.

Soit φ, l'application de Q[ω] dans R², qui à un élément α associe (α, α_c). L'image de Z[ω] par φ est le réseau de R² engendré par les vecteurs (1, 1) et (ω, ω_c) car (1, ω) forme une base du Z module Z[ω]. Le volume fondamental V du réseau est égal à la surface du parallélogramme de sommets 0, (1,1), (ω, ω_c) et (1 + ω, 1 + ω_c). Un rapide calcul montre que V est égal à 2.√d.

On considère la suite de rectangles R_n centrés en 0 de longueur 2.t_n et de hauteur 2(V + 1)/t_n. Leurs surfaces sont toujours égales à 4(V + 1) et ils contiennent nécessairement un point de l'image de Z[ω] d'après le théorème de Minskowski. Un point β de Z[ω] dont l'image par φ est dans le rectangle R_n, possède une valeur absolue inférieure à t_n et un conjugué de valeur absolue inférieure à 2(V + 1)/t_n. Sa norme est en conséquence bien bornée par 2(V + 1), égal à la constante B recherchée.

Définissons par récurrence les suites (t_n), correspondant à la demi-longueur des rectangles et α_n la suite des points de Z[ω] dont l'image est dans R_n. On pose t₀ = 1 et α₀ un point non nul de Z[ω] et dont l'image est dans R₀. Supposons les deux suites définies à l'ordre n. Soit t_n+1 un réel strictement positif et strictement inférieur à la valeur absolue de α_n. Le rectangle R_n+1 ne contient aucune image des α_j si j est inférieur ou égal à n car sa longueur est strictement plus petite que la valeur absolue du plus petit des α_j, qui forme une suite décroissante en valeur absolue. En revanche, sa surface, égale à 4(V + 1) garantit, d'après le théorème de Minkowski, l'existence d'un point α_n+1 non nul dont l'image est à l'intérieur du rectangle R_n+1. La suite (α_n) est bien une suite infinie de points distincts dont la norme est strictement inférieure à une constante B.

• Il existe deux indices i et j distincts et une unité ε de Z[ω] tels que α_i = ε.α_j :

Autrement dit, en notant J_i l'idéal principal engendré α_i : il existe deux indices i et j distincts tels J_i=J_j. Soit N>0 un entier tel que la suite des valeurs absolues des normes des α_i prenne la valeur N pour une infinité d'indices i (un tel entier existe puisque cette suite est bornée). Tous les J_i correspondants sont des sous-groupes additifs de Z[ω] qui contiennent NZ[ω]. Il n'y en a donc qu'un nombre fini, puisqu'ils correspondent bijectivement à des sous-groupes du groupe quotient Z[ω]/NZ[ω], qui est fini (de cardinal N²). D'où la conclusion.

• Il existe une unité différente de ±1.

Soient i, j et ε comme ci-dessus. Comme α_i et α_j sont de valeurs absolues différentes, on en déduit que ε, égal au quotient α_i/α_j, ne peut être égal à ±1. On a ainsi montré l'existence d'une unité différente de ±1.

• Le groupe des unités est isomorphe à Z/2Z x Z :

L'image de Z[ω]^* par ψ est isomorphe à Z, son noyau est isomorphe à Z/2Z. Soit v un élément tel que ψ(v) soit générateur de l'image. L'application de Z/2Z x Z dans Z[ω]^*, qui à (p, n) associe (-1)^p.ωⁿ est un isomorphisme, ce qui démontre le théorème.

Structure géométrique

Le éléments du groupe des unités se trouvent sur 4 branches d'hyperboles obtenues par rotations successives d'un quart de tour.

La structure géométrique ne fait véritablement sens que dans le cas où d est négatif, celui étudié ici. Il est possible de considérer (1, ω) comme une base du Q espace vectoriel Q[√d]. On peut de plus définir cette base, comme orthonormale. Tout élément α = x + y.ω vérifie l'une des deux équations :

$\alpha\cdot \alpha_c =\pm 1 \quad\text{et}\quad x^2 - dy^2 = \pm 1 \quad\text{ou}\quad x^2 + xy - \frac {d-1}4y^2 = \pm 1$

Dans les deux cas, on observe que chaque unité se trouve sur une des quatre branches de deux hyperboles tournées d'un quart de tour, l'une par rapport à l'autre. Les unités sont les intersections des hyperboles avec les sommets du quadrillages correspondant au réseau Z[ω].

À chaque solution α = a + b.ω, il en existe trois autres associées α_c, -α et -α_c. Il en existe une par quadrant. Le premier quadrant est formé par les points d'abscisses positives et d'ordonnées strictement positives et les autres sont obtenus par rotation d'un quart de tour.

Une solution particulièrement intéressante est celle satisfaisant la définition suivante :

• Une unité ρ est dite primitive ou fondamentale lorsque, pour toute unité α il existe un entier e égal à 1 ou -1 et un entier relatif k tel que α soit égal à e.ρ ^k.

Il existe quatre unités fondamentales : ρ, ρ_c, -ρ et -ρ_c, selon le théorème de Dirichlet. En général, on recherche celle présente dans le premier quadrant. Si ρ est dans le premier quadrant alors ρⁿ l'est aussi, ρ^-n se trouve sur le quadrant des abscisses positives et ordonnées négatives, -ρ^-n possèdent des abscisses négatives et des ordonnées positives et -ρⁿ possèdent abscisses et ordonnées négatives. On peut remarquer que c'est l'unité différente de 1 qui possède la plus petite abscisse du premier quadrant (abscisses et ordonnées positives). En effet, si α = a + b.ω est l'unité primitive telle que a et b soient positifs, et β = c + e.ω une unité tel que α.β soit différent de 1 et toujours dans le premier quadrant. L'unité β possède nécessairement des coordonnées positives et le produit des deux unités a pour abscisse a.c + (d - 1)/4.b.e ou a.c + d.be qui est clairement supérieur à a.

Fraction continue

Cette question date du III^e siècle, sous une forme un peu différente^[3]. L'équation de Pell-Fermat, sous une forme un peu réduite, est l'équation diophantienne suivante :

$x^2 - dy^2 = \pm 1\;$

Ici, d désigne un entier strictement positif non carré parfait. Les mathématiciens indiens du VI^e siècle^[4] ainsi que les européens du XVII^e siècle^[5] ont chacun développé une méthode de résolution efficace.

Généralités

Article détaillé : Fraction continue d'un nombre quadratique.

L'objectif est de trouver l'unité fondamentale ρ présente dans le premier quadrant. Si les deux entiers a et b sont définis par ρ = a + b.ω, selon la configuration de ω, cela revient à trouver un couple de solution (a, b) d'une des deux équations suivantes avec a et b choisi positifs, différent du couple (1,0) et a de valeur la plus petite possible :

$\quad \begin{align} (1)\quad \omega &= \sqrt d \quad &\mathcal N(a + b.\omega) &= a^2 - d.b^2 \\ (2)\quad \omega &= \frac 12 (1 + \sqrt d) \quad &\mathcal N(a + b.\omega) &= a^2 + ab - \frac {d-1}4b^2 \end{align}$

Placons nous dans le cas (1). Soit h / k une fraction formé de deux entiers strictement positif, tel que h soit différent de 1, tel que (h, k) soit solution de l'équation (1). Alors la fraction h / k approche bien ω au sens où la valeur absolue de leur différence est plus petite que l'inverse de 2.k². Ceci garantit que h / k est une réduite de la fraction continue de ω. Comme ω est un nombre quadratique, sa fraction continue est périodique à partir d'un certain rang. Les solutions de l'équation (1) se correspondent aux réduites en avant dernière position dans la période. Comme les différentes réduites possèdent des numérateurs et dénominateurs strictement croissants, l'unité fondamentale correspond à la réduite de la première période.

Dans le cas où ω est de type (2), les résultats précédents sont toujours valables, mais c'est la fraction continue de -ω_c qui est concernée.

Joseph-Louis Lagrange étudie théoriquement^[6] l'équation (1). Il montre qu'elle possède une infinité de solutions, que ces solutions se trouvent toutes (au signe près) dans la fraction continue de ω, qu'on en trouve exactement une par période et que sa position correspond à l'avant-dernière. Ces éléments permettent aisément de démontrer le théorème structurel pour les anneaux d'entiers quadratiques. Les raisonnements s'appliquant de la même manière pour l'équation (2).

Illustration par l'exemple

Supposons que ω soit égal à 1/2(1 + √61). On remarque que 61 est un congru à 1 modulo 4. Calculons la fraction continue de -ω_c :

$-\omega_c = \frac 12(\sqrt 61 - 1) = 3 + \frac {\sqrt 61 - 7}2 = 3 + \cfrac 1{\frac {\sqrt 61 + 7}6},\quad \frac {\sqrt 61 + 7}6 = 2 + \frac 1{\frac {\sqrt 61 + 5}6}$

On continue avec le même algorithme :

${\frac {\sqrt 61 + 5}6 = 2 + \frac 1 \frac{\sqrt 61 + 7}2}\quad\text{et}\quad \frac{\sqrt 61 + 7}2 = 7 + \frac 1{\frac{\sqrt 61 + 7}6}$

Le dernier quotient complet est égal au premier, la suite de la fraction est une répétition et l'on possède une période complète. On en déduit la fraction continue, ainsi que l'expression des réduites, notées ici h_i / k_i :

$-\omega_c = [3,\overline{2,{\color{Red}2},7}]\quad\text{et}\quad \frac {h_0}{k_0} = 3,\;\frac {h_1}{k_1} = \frac 72,\;\frac {h_2}{k_2} = {\color{Red}\frac {17}5}$

L'indice correspondant à l'avant dernière période est le 2, on en déduit que a = 17 et b = 5. On vérifie l'égalité dans l'équation (2). On remarque de 1/4(d-1) est égal à 15 et :

$17^2 + 17\times 5 -15\times 5^2 = 289 + 85 - 375 = -1 \quad\text{et}\quad \rho = 17 + 5\cdot \omega$

Méthode chakravala

Article détaillé : Méthode chakravala.

La méthode indienne est un peu équivalente à celle des fractions continues. La seule différence dans l'algorithme réside dans le fait que les coefficients de la fraction continue ne sont pas nécessairement positifs. La convention utilisée consiste à choisir le coefficient tel que le quotient complet soit, en valeur absolue le plus grand possible. Elle accélère de fait un peu l'algorithme.

Elle utilise un accélérateur décrit et démontré par Wallis^[7] qui s'applique aussi pour les fractions continues. Si l'on dispose un entier quadratique α de norme, en valeur absolue égale à 2, alors 1/2α² est une unité et si l'on dispose d'un entier quadratique de norme, en valeur absolue égal à 4, alors le huitième de son cube est une unité.

La logique est ici algébrique et non analytique comme chez Lagrange, les démonstrations théoriques associées à l'explicitation de la structure du groupe des unités sont en conséquence plus proches de cet article que des fractions continues. Elles se trouvent dans l'article détaillé. À l'époque de la mise au point de la méthode, les mathématiciens indiens ne se préoccupaient pas de question de cette nature^[8]. Les preuves sont la conséquence d'un regard moderne sur leur travail.

Notes et références

Notes

1. ↑ (de) J. P. G. Lejeune Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, R. Dedekind Braunschweig Viweg und Sohn, 1871 (1^re éd. 1863) [lire en ligne] 
2. ↑ La démonstration ici s'inspire de Bas Edixhoven (de) et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes 1, 2004 [lire en ligne] .
3. ↑ Diophante d'Alexandrie parle explicitement d'une équation de cette nature, dans son livre intitulé Arithmetica ((en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers [détail des éditions], vol. 2).
4. ↑ Brahmagupta, par exemple, développe les prémisses d'une méthode de résolution générale ((en) John Stillwell (en), Mathematics and its History, Springer, 3^e éd., 2010 (ISBN 978-1-44196052-8), p. 75-77).
5. ↑ Une longue communication épistolaire est publiée à ce sujet, cf Wallis 1658.
6. ↑ Ces résultats furent édités dans Bruyset (Lyon) et Desaint (Paris), L. Euler et J. L. Lagrange, Éléments d'algèbre, 1774 . Ce livre contient les Additions aux Éléments d'Algèbre d'Euler par Lagrange, rééditées dans Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. VII, Gauthier-Villars, 1877 [lire en ligne], p. 5-180 .
7. ↑ Wallis 1658
8. ↑ Une analyse est proposée dans (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Pell's equation », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne] ..

Références

• (en) David A. Cox, Primes of the Form x²+ny², Wiley, 1997 (1^re éd. 1989) (ISBN 978-0-47119079-0) 
• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright (en), An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions]
• (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen (de), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1990 (réimpr. 1998), 2^e éd. (ISBN 978-0-38797329-6) 
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
• (la) John Wallis, Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum, Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658 

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Quadratic Field », MathWorld