Aire orientée

Superficie

La superficie du carré vaut ici 4.

L'aire ou la superficie est la mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un carré » alors qu'il faudrait parler de son aire).

Le terme aire (du bas latin aera espace plan) est utilisé en mathématiques.

Le terme superficie est utilisé principalement pour des terrains (superficie d'un jardin, d'un champ) et s'exprime (dans le système international d'unités) en mètres carrés (m²).

D'autres unités de mesures peuvent être employées dans le système métrique :

  • l'are (1 a = 100 m²) ;
  • l'hectare (1 ha = 10 000 m²) ;
  • le kilomètre carré (1 km2 = 1 000 000 m² = 100 ha).

Avant la mise en place du système métrique, d'anciennes unités étaient employées, notamment l'acre et l'arpent.

Sommaire

Calcul de l'aire

Articles détaillés : Aire de surfaces usuelles et Intégrale.

En mathématiques, le calcul d'aire est d'abord évalué pour les surfaces usuelles, puis s'étend aux portions de plan délimité par une courbe (par exemple l'intérieur d'un cercle ou d'une ellipse) grâce au calcul intégral. La géométrie différentielle permet d'élargir ce calcul aux variétés de dimension 2, notamment les surfaces de révolution.

Le calcul de l'aire pour des figures géométriques élémentaires est simple. Les polygones plus complexes peuvent se découper en triangles, et l'on peut alors calculer l'aire de chaque triangle :

en géométrie euclidienne, l'aire d'un triangle est la moitié du produit de la longueur de sa base par sa hauteur.

Lorsqu'il s'agit d'une surface délimitée par une courbe, on fait une approximation de cette courbe par un polygone et l'on applique la méthode ci-dessus pour avoir une approximation de l'aire ; si cette courbe peut s'exprimer par une fonction, il suffit de calculer l'intégrale de cette fonction.

Lorsqu'il s'agit d'une surface de révolution, il suffit de connaître la longueur de l'arc de la courbe plane engendrant cette surface et la position du barycentre de la courbe, puis d'appliquer le théorème de Guldin.

On peut comparer des aires par superposition, inclusion ou décomposition-recomposition. Dans ce cas la mesure et le calcul sont inutiles. Il est intéressant de travailler sur les aires de cette façon avant d'apprendre les formules de calculs pour bien comprendre le sens de la grandeur en jeu.

Formules

Superficies de figures planes usuelles

Area.svg
Figure géométrique Formule de calcul Variables
Carré s^2\,\! s est la longueur d'un des côtés du carré.
Rectangle L\times l \,\! L et l sont la longueur et la largeur du rectangle.
Triangle \frac{1}{2}bh \,\! b et h sont la base et la hauteur du triangle.
Triangle \frac{1}{2} a b \sin(C)\,\! a et b sont deux côtés, et C est l'angle entre eux.
Triangle équilatéral \frac{\sqrt{3}}{4}s^2\,\! s est la longueur d'un des côtés du triangle.
Hexagone régulier \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\,\! s est la longueur d'un des côtés de l'hexagone.
Octogone régulier 2\left(1+\sqrt{2}\right)s^2\,\! s est la longueur d'un des côtés de l'octogone.
Polygone régulier \frac{1}{2}a p \,\! a est l'apothème, et p le périmètre du polygone.
Polygone régulier \frac{ns^2} {4 \cdot \tan(\pi/n)}\,\! s est la longueur d'un des côtés et n est le nombre de côtés.
Polygone régulier (mesure en degrés) \frac{ns^2} {4 \cdot \tan(180^\circ/n)}\,\!     s est la longueur d'un des côtés et n est le nombre de côtés.
Parallélogramme bh\,\! b et h sont respectivement la longueur de la base et la longueur de la hauteur.
Losange \frac{1}{2}ab a et b sont les longueurs des deux diagonales du losange.
Trapèze \frac{1}{2}(a+b)h \,\! a et b sont les côtés parallèles et h est la distance (hauteur) entre les parallèles.
Pour toute figure polygonale, il est utile de considérer le curieux théorème de Pick.
Cercle \pi r^2\ \text{ou}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\! r est le rayon et d le diamètre.
Ellipse \pi ab \,\! a et b sont le grand axe et le petit axe.
  • Pour d'autres domaines plans fermés par une frontière, il existe une superficie si le domaine est "quarrable". Déterminer l'aire "sous le graphique d'une fonction s'appelle effectuer une "quadrature". La quadrature de la parabole y= x^2/2p par Archimède [ S = 1/3 y.x] est très célèbre dans l'histoire du calcul intégral (voir l'article Méthode d'exhaustion).

Superficies de surfaces non planes

Figure géométrique Formule de calcul Variables
Superficie totale d'un cylindre 2\pi r^2+2\pi r h \,\! r et h sont respectivement le rayon et la hauteur.
Superficie latérale d'un cylindre 2 \pi r h \,\! r et h sont respectivement le rayon et la hauteur.
Superficie totale d'un cône \pi r (l + r) \,\! r et l sont respectivement le rayon et la distance d'un des points du cercle à la pointe du cône.
Superficie latérale d'un cône \pi r l \,\! r et l sont respectivement le rayon et la distance d'un des points du cercle à la pointe du cône.
Superficie totale d'une sphère 4\pi r^2\ \text{ou}\ \pi d^2\,\! r et d sont le rayon et le diamètre.
Superficie d'une zone sphérique 2\pi r h \,\! r est le rayon , et h la distance entre les deux plans parallèles délimitant la zone.
  • Le calcul de la superficie d'une surface gauche est en général plus compliqué, voire très compliqué ( ce problème a été soigneusement examiné par le mathématicien Henri Lebesgue).Quand le problème est possible, le domaine est dit "quarrable".

Histoire

Haute Antiquité

L'aire du disque rouge est proche de celle de l'octogone construit sur le tiers du carré.

Selon Hérodote, la géométrie dans l'Égypte antique prend son origine dans la nécessité de répartir équitablement les surfaces des champs cultivés après les crues du Nil[1]. Les Égyptiens connaissaient les formules usuelles de calcul des aires des polygones et la majorité des problèmes de géométrie conservés de cette époque concernent des problèmes d'aires[2].

À Babylone l'aire A et le périmètre P d'un cercle étaient liés suivant la formule[1] :

A = \dfrac{P^2}{12}

ce qui donne une valeur de π égale à 3. En Égypte, la formule était[1],[2], pour un diamètre D :

A =\left(\dfrac 8 9 D\right)^2

soit π = 3+16. Cette dernière approximation de π était probablement obtenue en inscrivant un octogone et un cercle dans un carré[1],[2]. La figure ci-contre illustre ce raisonnement : si le carré a pour côté le diamètre D du disque, l'octogone construit sur le tiers du côté du carré possède une aire de

\dfrac 7 9 D^2 = \dfrac{63}{81} D^2.

L'aire du disque est considérée comme légèrement supérieure à celle de l'octogone, soit

A=\dfrac{64}{81} D^2 = \left(\dfrac 8 9 D\right)^2.

La Grèce antique

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

par un raisonnement sur des aires de carrés.

  • Héron d'Alexandrie (c. 100 ap. J.-C.) publie la formule permettant de calculer l'aire d'un triangle, connaissant ces trois côtés, et appelé formule de Héron. Mais cette formule était connue d'Archimède[4]

Mathématiques arabes

Al-Khawarizmi, dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, analyse et résout les équations du second degré par des considérations géométriques sur des aires de carrés, poursuivant en cela la tradition de l'algèbre géométrique remontant à l'Antiquité.

Voir aussi

Autres articles

Bibliographie

  • Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, vol. 1, Vuibert/ERPI, Montréal, 1973 
  • Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, vol. 2, Vuibert/ERPI, Montréal, 1973 
  • Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. « Points Sciences », 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions]

Notes

  1. a , b , c  et d Dahan-Dalmedico et Pfeiffer, p. 120,121
  2. a , b  et c Colette, tome 1, p. 41,42
  3. Colette, tome 1, p. 55
  4. Colette, tome 1, p. 95.

Lien externe

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Voir « superficie » sur le Wiktionnaire.

Conversion d'unités de superficie

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