Forme bilinéaire anisotrope

Vecteur isotrope

Définitions

• Soit E un espace vectoriel sur un corps K.

Soit f une forme bilinéaire sur E. Soit x un vecteur de E. On dit que x est un vecteur isotrope pour f si et seulement si f(x,x) = 0.

Le vecteur nul est toujours isotrope

• Une forme bilinéaire qui n'admet que le vecteur nul comme vecteur isotrope est qualifiée d'anisotrope.

Propriétés

• Lorsque E est un espace vectoriel réel, une forme bilinéaire symétrique est anisotrope si et seulement si elle est strictement positive ou strictement négative, c’est-à-dire si si et seulement si c'est un produit scalaire au signe près.

En effet si x et y sont deux vecteurs tels que f(x,x) > 0 et f(y,y) < 0, on peut poser z = ax + y et on constate que f(z,z) = a²f(x,x) + 2af(x,y) + f(y,y) est un polynôme du second degré de discriminant négatif. D'autre part, z est non nul car x et y sont linéairement indépendant.

• lorsque E est un espace vectoriel complexe de dimension supérieure ou égal à 2, toute forme bilinéaire sur E admet au moins un vecteur isotrope.

Le raisonnement ci-dessus ne nécessite que de mineures adaptations.

• Pour une forme bilinéaire antisymétrique, tout vecteur est isotrope.

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