Force Normale Entre Deux Disques Dans Un Fluide Visqueux

Force normale entre deux disques dans un fluide visqueux

Soient deux disques parallèles et rigides, de rayon R, s'approchant à la vitesse V au sein d'un fluide visqueux incompressible, de viscosité η, dans le régime de Stokes (faibles nombres de Reynolds)

Il s'exerce entre eux, via le fluide, une force répulsive normale (dans le cas où les disques s'écartent, autrement dit V < 0, la force est au contraire attractive).

Éléments essentiels de l'écoulement

Vitesse vers le centre

Le fluide entre les deux plaques est incompressible donc conserve un volume Ω constant. Ainsi, si l'on augmente l'épaisseur h, on diminue le rayon R selon l'équation :

$\Omega = \pi R^2\cdot h$

Dépression

Lorsqu'on applique une force pour éloigner les deux disques, on crée une dépression dans le liquide. La dépression moyenne vaut typiquement:

$\frac{F}{\pi R^2}$

Gradient de Pression

la pression dans le liquide est plus faible que celle atmosphérique à l'extérieur. On a un gradient de pression. Par conséquent, on a un écoulement de fluide dont la vitesse moyenne est dirigée vers le centre.

On a: $\nabla P = \frac{F}{R^3}\$

Écoulement de Poiseuille

D'après les lois de l'hydrodynamique, il n'y a pas de glissement à la paroi. On se trouve dans un cas similaire à un écoulement de Poiseuille: le fluide a une vitesse nulle à la paroi. Et comme la vitesse dans le reste du fluide est non nulle, on a un profil de vitesse parabolique

Écartement de deux plaques rigides séparées par un mince film de matériau incompressible : animation montrant le cisaillement induit dans le matériau.

Calcul de l'écoulement

En première approximation, l'écoulement du fluide est partout parallèle à la paroi des disques (approximation de lubrification) et axisymétrique. Plus précisément, si la normale aux disques est orientée selon z, le champ de vitesse est radial et horizontal. La vitesse ne dépend que de la distance r à l'axe de révolution et de l'altitude z :

$\vec{v} = v(r,z) \vec{u}_r$.

Si les disques sont situés en $z = \pm h/2$, l'équation du profil de vitesse est donnée par :

$v(r,z) = v_{\rm max}(r)\;\left( 1-\frac{4\,z^2}{h^2} \right)$

où la vitesse maximale (à mi-hauteur) ne dépend que de la distance r à l'axe. Pour deux disques qui s'approchent, v_max est positive, l'écoulement s'effectue vers l'extérieur. Pour deux disques qui s'écartent (illustration), l'écoulement s'effectue au contraire en direction du centre.

Calcul de la vitesse radiale

À la distance r de l'axe, la vitesse moyenne

$v_{\rm moy}(r) = \frac{1}{h}\int_{-h/2}^{+h/2}v(r,z)\;{\rm d}z = \frac{2}{3} v_{\rm max}(r)$

(formule valable en cas de non glissement à la paroi) est fixée par l'incompressibilité du fluide :

$2\pi\,r\cdot h\cdot v_{\rm moy}(r) = \pi r^2\cdot V$

D'où finalement la vitesse en tout point :

$v(r,z) = \frac{3r}{4h} \left( 1-\frac{4\,z^2}{h^2} \right) V$

Calcul du champ de pression

Écartement de deux plaques rigides séparées par un mince film de matériau : le gradient de pression se transmet aux parois en tant que contrainte de cisaillement

Le gradient de pression est donné par l'écoulement de Poiseuille : $\frac{{\rm d} p}{{\rm d} r} (r) = - \frac{8\;\eta}{h^2} \cdot v_{\rm max} = - \frac{6\eta\;V}{h^3} \cdot r$

Si la pression est nulle au bord des disques (r = R), le champ de pression s'obtient par intégration du gradient :

$p(r) = \int_R^r {\rm d}r^\prime \frac{6\eta\;V}{h^3} \cdot r^\prime = \frac{3\eta V R^2}{h^3}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$

Écartement de deux plaques rigides séparées par un mince film de matériau : la pression est moindre au centre. Plus précisément, si le matériau répond linéairement à la déformation, le profil de pression est parabolique.

Calcul de la force

La force totale s'obtient par intégration du champ de pression :

$F = \int_0^{2\pi} \int_0^R p(r) r{\rm d}r {\rm d}\theta = \frac{3\pi}{2}\frac{\eta V R^4}{h^3}$

Implications pratiques

Si la distance h est petite par comparaison avec le rayon R des disques, la force nécessaire est grande.

Ainsi, lorsqu'on a écrasé une goutte de shampoing entre deux plaques de verre, il est assez difficile de les séparer (sous leur propre poids, elles peuvent même mettre un certain temps avant de se séparer). De manière analogue, la minceur d'un film adhésif est l'ingrédient principal de sa résistance initiale au décollement.

Liens externes

Du shampoing entre deux plaques, ça colleRésistance initiale d'une colle ou d'un adhésif

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