Fonction thêta

Fonction theta de Jacobi θ₁ avec u = iπz et q = e^iπτ = 0.1e^0.1iπ. Par convention (mathematica):$\theta_1(u;q) = 2 q^{1/4} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{n(n+1)} \sin(2n+1)u$ soit encore: $\theta_1(u;q) = \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} (-1)^{n-1/2} q^{(n+1/2)^2} e^{(2n+1)i u}$ par changement de variable

En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espace de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.

Les fonctions thêtas les plus courantes sont celles qui apparaissent en théorie des fonctions elliptiques. Elles vérifient par rapport à l'une de leur variables (traditionnellement z) certaines relations fonctionnelles qui traduisent les formules d'addition des périodes des fonctions elliptiques associées (quelquefois appelée quasi-périodicité, à ne pas confondre avec la notion homonyme en dynamique).

Fonction thêta de Jacobi

La fonction thêta de Jacobi est une fonction de deux variables complexes. C'est la somme totale de la série

$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z),$

qui n'est définie que lorsque z décrit le plan complexe et τ le demi-plan de Poincaré des complexes de partie imaginaire strictement positive.

Cette fonction est périodique en la variable z, de période 1. Autrement dit elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante.

$\vartheta(z+1; \tau) = \theta(z; \tau).\,$

Cela se vérifie directement, car à τ fixé, la série définissant la fonction thêta a la forme d'une série de Fourier.

La fonction se comporte aussi très régulièrement en respectant l'addition par $\tau\,$ et satisfait l'équation fonctionnelle

$\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)\theta(z;\tau)\,$

où a et b sont des nombres entiers.

Fonction Theta θ₁ pour différentes valeurs de q = e^iπτ. Le point noir à droite représente les différentes valeurs prises par τ

Fonction Theta θ₁ pour différentes valeurs de q = e^iπτ. Le point noir à droite représente les différentes valeurs prises par τ

Fonctions auxiliaires

Il est pratique de définir trois fonctions thêta auxiliaires, que nous pouvons écrire

$\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+1/2;\tau)$

$\vartheta_{10}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i z)\vartheta(z+\tau/2;\tau)$

$\vartheta_{11}(z;\tau) = \exp((\pi i \tau/4 + \pi i (z+1/2))\vartheta(z+(\tau+1)/2;\tau)$

Cette notation suit celle de Riemann et de Mumford ; la formulation originelle de Jacobi était en termes du nome $q = \exp(\pi \tau)\,$ plutôt que $\tau\,$, et thêta appelé $\theta_3\,$, avec $\vartheta_{01}\,$ en termes de $\theta_0\,$, $\vartheta_{10}\,$ nommé ${\theta}_2\,$, et $\vartheta_{11}\,$ appelé $-\theta_1\,$.

Si nous fixons z = 0 dans les fonctions thêta précédentes, nous obtenons quatre fonctions de $\tau\,$ seulement, définies sur le demi-plan de Poincaré (quelquefois appelées constantes thêta). Celles-ci peuvent être utilisées pour définir une variété de formes modulaires, et pour paramétrer certaines courbes; en particulier l'identité de Jacobi est

$\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4$

laquelle est la courbe de Fermat de degré quatre.

Identités de Jacobi

Les identités de Jacobi décrivent comment les fonctions thêta transforment sous le groupe modulaire. Soit

$\alpha = (-i \tau)^{1/2} \exp\left({i \tau z^2 \over \pi}\right)$

Alors

$\vartheta_1 (z; -1/\tau) = -i \alpha \vartheta_1 (\tau z; \tau)$

$\vartheta_2 (z; -1/\tau) = \alpha \vartheta_4 (\tau z; \tau)$

$\vartheta_3 (z; -1/\tau) = \alpha \vartheta_3 (\tau z; \tau)$

$\vartheta_4 (z; -1/\tau) = \alpha \vartheta_2 (\tau z; \tau)$

Voir aussi : (en) Proof of Jacobi's identity for $\vartheta$ functions de PlanetMath

Représentations de produits

La fonction thêta de Jacobi peut être exprimée comme un produit, à travers le théorème du triple produit de Jacobi :

$\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1-\exp 2i\pi \tau m \right) \left( 1+\exp i\pi \left[(2m-1)\tau +2z \right]\right) \left( 1+\exp i\pi \left[(2m-1)\tau -2z \right]\right)$

Les fonctions auxiliaires ont les expressions, avec q = exp iπτ :

$\vartheta_1 (z;\tau) = 2 q^{1/4} \sin z \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{2n}) (1 - 2 q^{2n} \cos 2 z + q^{4n})$

$\vartheta_2 (z;\tau) = 2 q^{1/4} \cos z \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{2n}) (1 + 2 q^{2n} \cos 2 z + q^{4n})$

$\vartheta_3 (z;\tau) = \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{2n}) (1 + 2 q^{2n-1} \cos 2 z + q^{4n-2})$

$\vartheta_4 (z;\tau) = \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{2n}) (1 - 2 q^{2n-1} \cos 2 z + q^{4n-2})$

Représentations intégrales

Les fonctions thêta de Jacobi ont les représentations intégrales suivantes :

$\vartheta_1 (z; \tau) = -e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)}\mathrm du$

$\vartheta_2 (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)}\mathrm du$

$\vartheta_3 (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)}\mathrm du$

$\vartheta_4 (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z) \over \sin (\pi u)}\mathrm du$

Relation avec la fonction zêta de Riemann

Notons que

$\vartheta(0;-1/\tau)=(-i\tau)^{1/2} \vartheta(0;\tau)\,$

Cette relation fut utilisée par Riemann pour démontrer l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, signifiant l'intégrale

$\Gamma\left(\frac s2\right) \pi^{-s/2} \zeta(s) = \frac12\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right] t^{s/2}\frac{\mathrm dt}t$

dont on peut montrer qu'elle est invariante par substitution de s par 1-s. L'intégrale correspondante pour z différent de zéro est donnée dans l'article sur la fonction zêta de Hurwitz.

Relation avec la fonction elliptique de Weierstrass

La fonction thêta fut utilisée par Jacobi pour construire (dans une forme adaptée pour un calcul facile) ses fonctions elliptiques comme des quotients des quatre fonctions thêta précédentes, et ont pu être utilisée par lui pour construire aussi les fonctions elliptiques de Weierstrass, puisque

$\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))'' + c\,$

où la seconde dérivée a lieu par rapport à z et la constante c est définie comme le développement de Laurent de $\wp(z)$ à z = 0 ne possède aucun terme constant.

Certaines relations avec les formes modulaires

Soit $\eta\,$, la fonction êta de Dedekind. Alors

$\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\frac{\tau+1}2\right)}{\eta(\tau+1)}$.

Comme solution de l'équation de la chaleur

La fonction thêta de Jacobi est l'unique solution de l'équation de la chaleur à une dimension avec des conditions aux limites périodiques au temps zéro. Ceci est plus facile à voir en prenant z=x réel, et en prenant $\tau=it\,$ avec t réel et positif. Alors, nous pouvons écrire

$\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)$

qui résout l'équation de la chaleur

$\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac1{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)$.

Le fait que cette solution soit unique peut être vu en notant qu'à t=0, la fonction thêta devient le peigne de Dirac :

$\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)$

où $\delta\,$ est la fonction δ de Dirac. Ainsi, la solution générale peut être précisée en juxtaposant la condition aux limites (périodique) à t=0 avec la fonction thêta.

Relation avec le groupe de Heisenberg

La fonction thêta de Jacobi peut être pensée comme le prolongement d'une représentation du groupe de Heisenberg en mécanique quantique, quelquefois appelée la représentation thêta. Ceci peut être vu en construisant le groupe explicitement. Soit f(z) une fonction holomorphe, soit a et b des nombres réels, et fixons une valeur de $\tau\,$. Alors, définissons les opérateurs $S_a\,$ et $T_b\,$ tels que

$(S_a f)(z) = f(z+a)\,$

et

$(T_b f)(z) = \exp (i\pi b^2 \tau +2\pi ibz) f(z+b\tau)\,$

Notons que

$S_{a_1} (S_{a_2} f) = (S_{a_1} \circ S_{a_2}) f = S_{a_1+a_2} f$

et

$T_{b_1} (T_{b_2} f) = (T_{b_1} \circ T_{b_2}) f = T_{b_1+b_2} f$,

mais S et T ne commutent pas :

$S_a \circ T_b = \exp (2\pi iab) \; T_b \circ S_a$.

Ainsi, nous voyons que S et T ensemble avec une phase unitaire forme un groupe de Lie nilpotent, le groupe de Heisenberg (réel continu), paramétrable par $H=U(1)\times\R\times\R\,$ où U(1) est le groupe unitaire. Un élément de groupe général $U(\lambda,a,b)\in H\,$ alors agit sur une fonction holomorphe f(z) comme

$U(\lambda,a,b)\;f(z)=\lambda (S_a \circ T_b f)(z) = \lambda \exp (i\pi b^2 \tau +2\pi ibz) f(z+a+b\tau)$

où $\lambda \in U(1)$. Notons que U(1)=Z(H) est à la fois le centre de H et le groupe dérivé [H,H].

Définissons le sous-groupe $\Gamma\subset H$ comme

$\Gamma = \{ U(1,a,b) \in H : a,b \in\Z\}$.

Alos, nous voyons que la fonction thêta de Jacobi est une fonction entière de z qui est invariante sous $\Gamma\,$, et il peut être montré que la fonction thêta de Jacobi est une telle fonction unique.

La représentation thêta ci-dessus du groupe d'Heisenberg peut être reliée à la représentation canonique de Weyl du groupe d'Heisenberg comme suit. Fixons une valeur pour $\tau\,$ et définissons une norme sur les fonctions entières du plan complexe comme

$\Vert f \Vert ^2 = \int_\C \exp \left( \frac {-2\pi y^2} {\Im \tau} \right) |f(x+iy)|^2 \ \mathrm dx \ \mathrm dy$

Soit $\mathcal{J}$ l'ensemble des fonctions entières f de norme finie. Notons que $\mathcal{J}$ est un espace hilbertien, et que U(λ,a,b) est unitaire sur $\mathcal{J}$, et que $\mathcal{J}$ est irréductible sous cette action. Alors $\mathcal{J}$ et L²(R) sont isomorphes comme H-modules, où H agit sur $L^2(\R)\,$ comme

$U(\lambda,a,b)\;\psi(x)=\lambda \exp (2\pi ibx) \psi(x+a)$

pour $x\in\R$ et $\psi\in L^2(\R)$.

Voir aussi le théorème de Stone-von Neumann (en) pour plus de développements sur ces idées.

Généralisations

Si F est une forme quadratique de n variables, alors la fonction thêta associée avec F est

$\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))$

avec la somme s'étendant sur le réseau des entiers $\Z^n\,$. Cette fonction thêta est une forme modulaire de poids n/2 (sur un sous-groupe défini de manière approprié) du groupe modulaire. Dans le développement de Fourier,

$\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)$,

les nombres R_F(k) sont appelés les nombres de représentation de la forme.

Fonction thêta de Ramanujan

Article détaillé : fonction thêta de Ramanujan (en).

Fonction thêta de Riemann

Soit

$H_n=\{F\in M(n,C)~|~F=F^T\quad\textrm{et}\quad\Im F >0 \}$

l'ensemble des matrices carrées symétriques dont la partie imaginaire est définie positive; $H_n\,$ est l'analogue multi-dimensionnel du demi-plan de Poincaré. L'analogue n-dimensionnel du groupe modulaire est le groupe symplectique Sp(2n,Z); pour n=1, Sp(2,Z)=SL(2,Z). L'analogue n-dimensionnel des sous-groupes de congruence est $\textrm{Ker} \{Sp(2n,\Z)\rightarrow Sp(2n,\Z/k\Z) \}$.

Alors, $F\in H_n$ donné, la fonction thêta de Riemann est définie comme suit

$\theta (F,z)=\sum_{m\in\Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac12m^T F m +m^T z \right)\right)$.

Ici, $z\in\C^n$ est un vecteur complexe n-dimensionnel, et l'exposant T désigne la transposition. La fonction thêta de Jacobi est alors un cas particulier, avec n=1 et $F=\tau \in \mathbb{H}$ où H est le demi-plan de Poincaré.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Theta function » (voir la liste des auteurs)
• (en) Product representations of Jacobi $\vartheta$ functions, Jacobi's identity for $\vartheta$ functions et Integral representations of Jacobi $\vartheta$ functions de PlanetMath
• (en) Milton Abramowitz (en) et Irene Stegun (en), Handbook of Mathematical Functions (en), Dover, 1964 (ISBN 978-0-486-61272-0), section 16.27ff.
• (en) Naum Achiezer (de), Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, traduit en anglais dans AMS Translations of Mathematical Monographs, vol. 79, 1990 (ISBN 978-0-8218-4532-5)
• (en) David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston (ISBN 978-3-7643-3109-2)
• (en) James Pierpont, Functions of a Complex Variable, Dover