Fonction irrationnelle

Une fonction irrationnelle est une fonction qui ne dépend pas rationnellement de ses arguments. C'est donc l'analogue d'un nombre irrationnel. Elle sera algébrique si, cependant, elle est solution d'une équation polynômiale à coefficients polynômiaux par rapport à ses arguments, et transcendante si cette dernière condition n'est pas vérifiée.

Plus généralement, si on se donne un anneau commutatif A, et un anneau B dont A est un sous-anneau, on dira qu'un élément f de B est transcendant sur A s'il n'existe pas de polynôme à coefficients dans A dont f est racine. On dira qu'un élément f de B est algébrique sur A s'il n'appartient pas à A, mais s'il est racine d'une équation polynômiale à coefficients dans A. Cette notion généralise les notions de nombres transcendants ou algébriques.

Exemples de fonctions transcendantes

Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif de caractéristique nulle. Notons A l'anneau de polynômes à une indéterminée $\mathbb{K}(X)$ et B l'anneau des séries formelles à une indéterminée $\mathbb{K}[[X]]$. Alors la série exponentielle, $\mathrm{exp}(X)=\sum_{j=0}^\infty X^j/j!$ est transcendante sur A. Il en est de même des séries logarithme, sinus et cosinus ordinaires, sinus et cosinus hyperbolique.

Exemples de fonctions algébriques

Dans la même situation que précédemment, les séries donnant le développement en série de Taylor de (1 + X)^{1 / p} pour tout entier au moins égal à 2

$\sum_{k=0}^\infty \frac{1(1-p)(1-2p)\dots(1-(k-1)p)}{p^k\, k!} X^k$

est algébrique, puisqu'elle est solution de l'équation polynômiale en T, à coefficients polynômiaux en X, T^p − X − 1 = 0.

Choisissons maintenant comme anneau A l'anneau des polynômes complexes, auquel on adjoint l'exponentielle : c'est l'anneau C[X,Y], avec Y substitué par exp(X). Alors, si B est l'anneau des séries formelles à une indéterminée, exp(x / 2) et exp( − X / 2) sont algébriques sur A, puisque respectivement solutions de T² − exp(X) = 0 et exp(X)T² − 1 = 0. Il en est de même du cosinus et du sinus hyperboliques. Le premier est solution de l'équation 4T²exp(X) − (exp(X) + 1)² = 0 et 4T²exp(X) − (exp(X) − 1)² = 0.