Fonction impaire

Fonctions paires et impaires

En analyse, une fonction $f : E\to F$, avec $E\subseteq\R$ et $F\subseteq\R$ est :

• paire si et seulement si pour tout x de E, on a $-x\in E$ et f(x) = f( − x). Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus ;
• impaire si et seulement si pour tout x de E, on a $-x\in E$ et f( − x) = − f(x). Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.

Les appellations « paire » et « impaire » proviennent du fait que toutes les fonctions $x\longmapsto x^k$ avec k pair sont paires et toutes les fonctions $x\longmapsto x^k$ avec k impair sont impaires^{[réf. souhaitée]}.

Utilisation

La parité des fonctions sert par exemple à n'étudier la fonction que sur la moitié de son intervalle de définition, l'autre moitié étant déduite par symétrie. On remarquera qu'une fonction impaire centrée en 0 est nulle en ce point.

Décomposition en fonctions paires et impaires

Si E est un sous-ensemble de $\R$ symétrique par rapport à 0 (c'est à dire que si x appartient à E alors − x appartient à E), toute fonction $f : E\to F$ peut se décomposer comme une somme unique d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Par conséquent, on peut parler de la partie paire de f et de sa partie impaire. Par exemple, e^x se décompose comme la somme unique de $\operatorname{ch} = \tfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ et de $\operatorname{sh} = \tfrac{e^x - e^{-x}}{2}$.

Démonstration

Soit I un sous-ensemble de $\R$ symétrique par rapport à 0 et $f : I\to\R$.

Existence

Soient g et h deux fonctions de I dans $\R$ telles que :

$\forall x \in I, g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

$\forall x \in I, h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

On sait alors que g est paire car

$\forall x \in I, g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x)$

et également que h est impaire car

$\forall x \in I, h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -h(x)$

Ainsi

$g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x) + f(-x) - f(-x)}{2} = f(x)$

On a donc f = g + h.

Unicité

Supposons que f = k + l, où $k : I\to\R$ est une fonction paire et $l : I\to\R$ est une fonction impaire.

$\begin{align} \frac{f(x) + f(-x)}{2} &= \frac{k(x) + l(x) + k(-x) + l(-x)}{2} \\ & = \frac{k(x) + k(-x)+ l(x) + l(-x)}{2} \\ & = \frac{k(x) + k(x)+ l(x) - l(x)}{2} \\ &= k(x) \end{align}$

On a donc que k(x) = g(x) et de même, l(x) = h(x). La décomposition de f = g + h est donc unique.

Représentation graphique

Soit f une fonction définie sur E et (C_f) sa représentation graphique dans un repère orthogonal

• f est une fonction paire si et seulement si (C_f) est symétrique par rapport à l'axe (Oy)
• f est une fonction impaire si et seulement si (C_f) est symétrique par rapport au point O

Mais, une fonction dont la courbe représentative possède un axe ou un centre de symétrie n'est pas forcément paire ou impaire : il est nécessaire que le centre soit O ou l'axe soit (Oy).

Quelques propriétés

• La seule fonction qui est à la fois paire et impaire est la fonction nulle (fonction constante égale à 0).
• En général, la somme d'une fonction paire et une fonction impaire n'est ni paire ni impaire ; ex : x + x².
• La somme de deux fonctions paires donne une fonction paire, et toute constante multiple d'une fonction paire est paire.
• La somme de deux fonctions impaires donne une fonction impaire, et toute constante multiple d'une fonction impaire est impaire.
• Le produit de deux fonctions paires donne une fonction paire.
• Le produit de deux fonctions impaires donne aussi une fonction paire.
• Le produit d'une fonction paire et une fonction impaire donne une fonction impaire.
• Le quotient de deux fonctions paires donne une fonction paire.
• Le quotient de deux fonctions impaires donne une fonction paire.
• Le quotient d'une fonction paire et une fonction impaire donne une fonction impaire.
• La dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire.
• La dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire.
• Une primitive d'une fonction impaire n'est pas forcément paire mais si E est un intervalle, toute primitive d'une fonction impaire sur E est une fonction paire.
• Une primitive d'une fonction paire n'est pas forcément impaire mais si E est un intervalle, la primitive d'une fonction paire sur E qui s'annule en 0 est une fonction impaire.
• La composée de deux fonctions impaires donne une fonction impaire.
• La composée $f \circ g$ d'une fonction quelconque f avec une fonction paire g donne une fonction paire.
• La composée $g \circ f$ d'une fonction paire g avec une fonction impaire f donne une fonction paire.

Voir aussi

• Série de Taylor
• Série de Fourier

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