Fonction Porte

Fonction porte

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Graphe de la fonction porte

La fonction porte, généralement représentée Π, est une fonction mathématique par laquelle un nombre a une image nulle, sauf s'il est compris entre -0,5 et 0,5, auquel cas son image vaut 1. Son graphe a une forme similaire à celle d'une porte, d'où son nom.

Définition

La fonction porte est une fonction Π définie sur l'espace des réels à valeur dans {0,1} comme suit :

$\forall t \in \R,\ \left \{ \begin{array}{cc} \Pi(t) = 1 & \mbox{ si } -1/2 \leq t \leq 1/2 \\ 0 & \mbox{sinon}\end{array}\right.$

Par généralisation, on appelle également fonction porte toute fonction déduite par translation et/ou dilatation de la fonction définie ci-dessus. Les notations varient.

La fonction porte peut s'exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside de cette manière :

$\forall t \in \R,\ \Pi(t) = H \left(t+\frac{1}{2} \right) - H \left(t-\frac{1}{2} \right)$

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction porte définie ci-dessus est un sinus cardinal :

$\mathcal{F}(\Pi)(f) = \mathrm{sinc}(\pi f)$

Une fonction porte d'amplitude A compris entre -T/2 et T/2 s'écrit:

$x(t)=0 \$ si |t| > T/2
$x(t)=A \$ si |t| < T/2

D'après la définition de la Transformée de Fourier:
$X(f)=\int^{+\infty } _{-\infty} {x(t) e^{-j 2 \pi f t} dt}$
Avec j² = − 1
Et : e^jx = cos(x) + j.sin(x)
$X(f) = A\int _{-\frac{T}{2}} ^{\frac{T}{2}} \cos(-2 \pi f t) + i.\sin(-2 \pi f t) dt$
$X(f) = \frac{A}{-2 \pi f} \times \left [\sin(-2 \pi f t) \right ] ^{\frac{T}{2}} _{\frac{-T}{2}} + j.\frac{A}{2 \pi f}.\left [\cos(-2 \pi f t) \right ] ^{\frac{T}{2}} _{\frac{-T}{2}}$
$X(f) = \frac{-A}{2 \pi f} \times \left [ \sin \left (-2 \pi f \frac{T}{2} \right ) - \sin \left (-2 \pi f \frac{-T}{2} \right ) \right] + j. \frac{A}{2 \pi f} \times \left [ \cos \left (-2 \pi f \frac{T}{2} \right ) - \cos \left (-2 \pi f \frac{-T}{2} \right ) \right]$
$X(f) = \frac{-2A}{2 \pi f} \times \sin \left (-2 \pi f \frac{T}{2} \right )$
$X(f) = {T.A} \left[ \frac {\sin(-2 \pi f \frac{T}{2})}{-2 \pi f \frac{T}{2}} \right ]$

$X(f) = {T.A}.\mathrm{sinc}\left( 2 \pi f \frac{T}{2} \right )$

Avec sinc, la fonction sinus cardinal.

Voir aussi

• Fonction de Heaviside

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