Fonction Du Second Degré

Fonction du second degré

Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires

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En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = ax^2 + bx + c\,$ où a, b et c sont des réels (a non nul) appelés les coefficients.

ax² est le terme du second degré, bx est le terme du premier degré et c est le terme constant.

Après les fonctions affines, les fonctions du second degré ou trinômes du second degré constituent le deuxième champ d'étude des fonctions polynômes.

Ces fonctions du second degré trouvent leurs applications dans des domaines extrêmement variés comme l'étude théorique d'une chute libre en physique.

Forme canonique

Une fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique qui permet de mettre en évidence sa relation avec la fonction carré :

$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$

On peut remarquer que $f\left(\frac{-b}{2a}\right) = \frac{-b^2+4ac}{4a}$

Exemple : si $f(x) = 2x ^2 + 4x - 5\,$, on remarque que $\frac{-b}{2a} = -1$ et que $f(-1) = -7\,$ donc $f(x) = 2(x + 1)^2 - 7\,$

Discriminant: On appelle discriminant le nombre Δ = b² − 4ac. On obtient alors :

$f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$

De cette forme canonique se déduisent tous les résultats concernant la fonction du second degré.

Racines

Article détaillé : Équation du second degré.

On dit que r est une racine de f si f(r) = 0.

On démontre que

• si Δ > 0 alors f possède deux racines qui sont $r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
• si Δ = 0 alors f possède une racine double qui est $r_0 = \frac{-b}{2a}$
• si Δ < 0 alors f ne possède pas de racine dans l'ensemble $\R$ mais il en possède dans l'ensemble $\mathbb{C}$.

Cas de la racine évidente

Soit un trinôme du second degré, tel que $f(x) = ax^2 + bx + c\,$.
Si $a+b+c=0\,$ alors $f\,$ admet deux racines évidentes $1\,$ et $c/a\,$. De même,
Si $a-b+c=0\,$ alors $f\,$ admet deux racines évidentes $-1\,$ et $-c/a\,$.

Opérations sur les racines

Si le polynôme du second degré possède deux racines r₁ et r₂ (éventuellement confondues), il est possible de connaître la sommer₁ + r₂ et le produit r₁r₂ de ces racines sans avoir besoin de les calculer au préalable.

$r_1+r_2=- \frac{b}{a}$

et

$r_1r_2=\frac{c}{a}$

Factorisation

Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif, on peut écrire la fonction du second degré sous forme d'un produit de fonctions du premier degré.

• si $\Delta > 0\,$ alors $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,$
• si $\Delta = 0\,$ alors $f(x) = a(x - r_0)^2\,$

Étude de signe

Article détaillé : Inéquation du second degré.

La factorisation précédente (ou l'absence de factorisation) permet de construire le tableau de signe de $f(x)\,$. En réalité, il existe 6 cas de figure selon que $a\,$ est positif ou négatif et selon que $f\,$ possède 2, 1 ou 0 racines. Ces six cas de figure se résument en une méthode : «Le signe de trinôme coïncide avec celui de $a\,$. sauf entre les racines»

Représentation graphique

La forme canonique de la fonction $f\,$ permet de remarquer que sa courbe représentative est l'image de la courbe d'équation $y = ax^2\,$ par une translation de vecteur $\vec u\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)$.

La courbe représentative est donc toujours une parabole. Son sommet est le point $S\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)$ et son axe de symétrie est la droite d'équation $x = \frac{-b}{2a}\,$.

Les six paraboles ci-dessous illustrent les six cas de figures de l'étude de signe, selon le signe de $a\,$ et celui de Δ. On rappelle que $f\left(\frac{-b}{2a}\right) = - \frac{\Delta}{4a}\,$

	a > 0	a < 0
Δ < 0	$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & \\ \hline \end{array}$
Δ = 0	$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & - & \\ \hline \end{array}$
Δ > 0	$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$

Sens de variation

Enfin, on peut déduire de cette courbe le sens de variation de $f\,$:

• Si $a > 0\,$, la fonction est décroissante puis croissante et atteint son minimum en $- b/2a\,$ ;
• Si $a < 0\,$, la fonction est croissante puis décroissante et atteint son maximum en $- b/2a\,$

Ce résultat est confirmé par le calcul de la dérivée de $f\,$ qui est $f'(x) = 2ax + b\,$.

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