Faisceau Harmonique

Faisceau harmonique

Étant donné quatre droites concourantes ou parallèles, on peut montrer que le birapport des quatre points que l'on obtient par intersection avec une sécante à ces 4 droites ne dépend pas de la sécante. De plus il est égal au rapport des mesures algébriques des 3 points d'intersections (dans l'ordre adéquat) pour une sécante à trois seulement de ces quatre droites et parallèle à la quatrième. Ce birapport de 4 points est appelé également birapport des quatre droites. Quand ce birapport égale -1 on dit que les quatre droites (concourantes ou parallèles) forment un faisceau harmonique. Bien qu'exprimé ici en géométrie affine il s'agit fondamentalement d'une notion de géométrie projective. Les deux cas (droites concourantes et droites parallèles) sont réunis en un seul. Le cas où la sécante est parallèle à l'une des quatre droites n'existe pas (ou plutôt il est intégré au cas général). Le birapport de quatre droites concourantes est la notion duale du birapport de quatre points alignés. La notion de faisceau harmonique est la notion duale de celle de division harmonique.

La suite est consacrée à deux démonstrations de la propriété d'invariance nécessaire pour que la définition ait un sens.

démonstration analytique

Les quatre droites sont données par des équations f_i(M) = 0, (i = 1,2,3,4) où f_i est une forme affine de partie linéaire φ_i. Supposons la droite $\mathcal D$ définie par un point $A\,$ et un vecteur directeur $u\,$.

Un point de $\mathcal D$ est sur la droite $\mathcal D_i$ si, et seulement si, M = A + λ_iu avec f_i(A) + λ_iφ_i(u) = 0 soit $\lambda_i=-\frac{f_i(A)}{\phi_i(u)}.$

La condition de division harmonique s'écrit alors

$\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_4-\lambda_1}=-\frac{\lambda_2-\lambda_3}{\lambda_4-\lambda_3}$

ou encore après avoir remplacé les λ_i par leur valeur et réduit les fractions au même dénominateur

$\frac{f_1(A)\phi_2(u)-f_2(A)\phi_1(u)}{f_1(A)\phi_4(u)-f_4(A)\phi_1(u)}=- \frac{f_3(A)\phi_2(u)-f_2(A)\phi_3(u)}{ f_3(A)\phi_4(u)-f_4(A)\phi_3(u)}$

On peut également mettre cette expression sous la forme :

$(1)\qquad\begin{vmatrix}f_1(A)&f_2(A)\\\phi_1(u)&\phi_2(u)\end{vmatrix} \begin{vmatrix}f_3(A)&f_4(A)\\\phi_3(u)&\phi_4(u)\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix}f_3(A)&f_2(A)\\\phi_3(u)&\phi_2(u)\end{vmatrix} \begin{vmatrix}f_1(A)&f_4(A)\\\phi_1(u)&\phi_4(u)\end{vmatrix}.$

Les droites D₁,D₃ engendrant le faisceau de droites auquel appartiennent D₂ et D₄, il existe des constantes α,β telles que f₂ = f₁ + αf₃ et f₄ = f₁ + βf₃.

Notons que ce résultat est encore vrai dans le cas des droites parallèles.

En remplaçant ces expressions dans l'égalité (1), les déterminants se simplifient immédiatement (par combinaison de colonnes) ce qui conduit à l'égalité

$\alpha\begin{vmatrix}f_1(A)&f_3(A)\\\phi_1(u)&\phi_3(u)\end{vmatrix}^2=-\beta \begin{vmatrix}f_1(a)&f_3(A)\\\phi_1(u)&\phi_3(u)\end{vmatrix}^2$

La condition d'harmonie équivaut donc à α = − β.

La condition ne dépend donc que des quatre droites du faisceau et non de $\mathcal D$ dont les éléments caractéristiques ont disparu.

Invariance du birapport

Si l'on suppose que le birapport des quatre points vaut K, il suffit de remplacer dans la preuve si-dessus, le signe "-" par K. La condition finale devenant α = Kβ.

Là encore ce birapport ne dépend pas de la droite sécante.

démonstration géométrique

-- Cas des droites parallèles

Soit $\mathcal D,\mathcal D'$ deux sécantes. Le théorème de Thalès permet d'affirmer que tous les quotients $\frac{\overline{M_iM_j}}{ \overline{M'_iM'_j} }$ sont égaux.

Il en résulte immédiatement que $\frac{\overline{M'_1M'_2}}{\overline{M'_1M'_4} }\frac{\overline{M'_3M'_4}}{\overline{M'_3M'_2}}= \frac{\overline{M_1M_2}}{\overline{M_1M_4} }\frac{\overline{M_3M_4}}{\overline{M_3M_2}}=-1.$

Les points M'_i sont donc en division harmonique.

Remarque : Plus généralement, le birapport est donc conservé.

-- Cas des droites issues d'un point

Quite à translater la droite $\mathcal D'$, ce qui ne change pas le birapport des quatre points, on peut supposer que $\mathcal D'\cap\mathcal D_1=\mathcal D\cap\mathcal D_1=M_1$.

On mène ensuite les parallèles à $\mathcal D_1$ issues de M₃ et M'₃ qui coupent $\mathcal D_2$ en N₂ et N'₂ et $\mathcal D_4$ en N₄ et N'₄.

Le théorème de Thalès affirme

$\frac{\overline{M_2M_1}}{\overline{M_2M_3}}=\frac{\overline{OM_1}}{\overline{N_2M_3}}$ et $\frac{\overline{M_4M_1}}{\overline{M_4M_3} }=\frac{\overline{OM_1}}{ \overline{N_4M_3}}$;

les points M₁,M₂,M₃,M₄ étant en division harmonique, on a $\overline{M_4M_1}/\overline{M_4M_3}=-\overline{M_2M_1}/\overline{M_2M_3}$ ce qui conduit à $\overline{N_4M_3}=-\overline{N_2M_3}$ de sorte que M₃ est le milieu de [N₂,N₄].

Par application du même théorème de Thales aux droites $\mathcal D_2,\mathcal D_3,\mathcal D_4$ on déduit que M'₃ est le milieu de [N'₂,N'₄].

De là $\frac{\overline{M'_2M'_1}}{\overline{M'_2M'_3}}=\frac{\overline{OM_1}}{\overline{N'_2M'_3}}=- \frac{\overline{OM_1}}{ \overline{N'_4M'_3}}=-\frac{\overline{M'_4M'_1}}{\overline{M'_4M'_3} },$

Remarque 1: on a prouvé au passage que si un faisceau est harmonique, toute parallèle à une des droites issue de l'un des points d'une séquante est au milieu des point d'intersection de cette parallèle et des deux autres droites.

Remarque 2 (conservation du birapport): Rien n'est modifié substantiellement si le birapport des quatre points vaut K à la place de -1. Il suffit d'introduire la constance K à la place du changement de signe.

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