Espace Tangent

Espace tangent

L'espace tangent en un point a d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles d'un "mobile" se déplaçant (sans pouvoir la quitter) dans la variété M quand il est en a.

Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier. Cette façon d'interpréter l'espace tangent revient à considérer que la variété a localement une structure proche de celle d'un espace affine.

Définition lorsque la variété est plongée

Lorsque la variété est plongée dans $\mathbb{R}^n$, l'espace tangent en un point p est simplement l'ensemble des vecteurs tangents en p aux courbes (de classe C¹) tracées sur la variété et contenant p.

Définition formelle

Définition en termes de chemins

L'espace tangent $\scriptstyle T_xM$ et un vecteur tangent $\scriptstyle v\in T_xM$, le long d'une courbe à un point $\scriptstyle x\in M$

Supposons que M est une variété différentielle de dimension n et de classe $\mathcal{C}^1$ et que p est un point de M. Soit $(U,\varphi)$ une carte locale de M en p. Deux courbes $\gamma_1,\gamma_2:]-1,1[\rightarrow M$, telles que $\varphi\circ\gamma_1, \varphi\circ\gamma_2$ soient différentiables en 0, sont dites tangentes en $\,p$ si γ₁(0) = γ₂(0) = p et $\big(\varphi\circ\gamma_1\big)^\prime(0) = \big(\varphi\circ\gamma_2\big)^\prime(0)$. Cette relation est une relation d'équivalence. L'ensemble des classes est l'espace tangent en p à M, noté T_p(M). La fonction $\gamma\mapsto (\varphi\circ\gamma)'(0)$ induit par passage au quotient une bijection de T_p(M) dans $\mathbb{R}^n$ qui fait de l'espace tangent un espace vectoriel. La formule du changement de cartes montre que la structure vectorielle ne dépend pas de la carte locale choisie.

Voir aussi

• Fibré tangent
• Théorème du redressement

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