Espace Réflexif

Espace réflexif

En analyse fonctionnelle, un espace de Banach est dit réflexif s'il satisfait une propriété concernant les espaces duaux. Ils possèdent en outre d'intéressantes propriétés géométriques.

Définition

Soit X un espace vectoriel normé complet, sur R ou C. On note X' son dual topologique, c'est-à-dire toutes les formes linéaires continues de X dans le corps de base. Il s'agit aussi d'un espace de Banach, (voir dual topologique). On peut alors former le bidual X'', qui est le dual topologique de X'. Il y a une transformation linéaire continue naturelle

J : X → X''

définie par

J(x)(φ) = φ(x) pour tout x dans X et φ dans X'.

Donc, J envoie x vers la fonction de X' donnée par l'évaluation en x. Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, J préserve la norme (soit encore ||J(x)||=||x|| ) et est donc injective. L'espace X est alors dit réflexif si J est bijective.

Note : cette définition implique que tout espace réflexif est un espace de Banach, puisque X est isomorphe à X''.

Exemples

Tout espace de Hilbert est réflexif, de même que les espaces L^p pour 1 < p < ∞. De manière générale : tout espace de Banach uniformement convexe est réflexif d'après le théorème de Milman–Pettis.

Les espaces de Montel sont aussi réflexifs.

Propriétés

Tout sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif est réflexif.

La propriété géométrique annoncée de ces espaces est la suivante : si C est un sous-ensemble convexe fermé d'un espace réflexif X, alors pour tout x dans X il existe c dans C tel que ||x - c|| soit le minimum de la distance entre x et les points de C. (Noter que bien que la distance minimale entre x et C soit définie de manière unique par x, le point c ne l'est pas.)

Un espace de Banach est réflexif si et seulement si son dual l'est.

Un espace est réflexif si et seulement si sa boule unité est compacte pour la topologie faible.

Implications

Un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual est séparable.

Si un espace est réflexif, alors toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Dans un espace de Hilbert toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Voir aussi

• Algèbre d'opérateurs réflexive

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