Affinité (Mathématiques)

Affinité (mathématiques)

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En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.

Affinité vectorielle

Figure 1. Construction d'une affinité

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :

Soit E\, un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires F\, et G\, (E=F \oplus G) ;

l'affinité de base F\, (ou sur F\,), de direction G \, et de rapport \lambda\, est l'unique endomorphisme f\, qui se restreint à F\, en l'identité, et à G\, en l'homothétie de rapport \lambda\, :

Si x=x_F+ x_G\, alors f(x) = x_F + \lambda x_G\,.

Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propres au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

  • l'identité (\lambda=1\,)
  • les projections, ou projecteurs (\lambda=0\,)
  • les symétries, ou involutions linéaires (\lambda=-1\,), se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
  • les homothéties ( G=E\,)
  • les dilatations, ou affinités hyperplanes, (\dim G=1\,).

Affinité ponctuelle

Étant donné un sous-espace affine F\, d'un espace affine E\, associé à \overrightarrow E et une direction supplémentaire \overrightarrow G, l'affinité de base F\, (ou sur F\,) de direction \overrightarrow G\, et de rapport λ est l'application définie par la construction :

  1. pour tout point M\, dans E\, on trace l'unique sous-espace G_M\, passant par M\, et de direction \overrightarrow G ;
  2. G_M\, coupe F\, en un point unique H\, ;
  3. l'image de M\, par f\, est alors le point M'\, tel que \overrightarrow{HM'}=\lambda\overrightarrow{HM}.

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe ; dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité et d'une translation de vecteur parallèle à la direction de l'affinité.

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