Ensemble de parties de caractère fini

En mathématiques, un ensemble de parties de caractère fini d'un ensemble E est un ensemble $\mathcal{F}$ de parties de E tel que pour toute partie A de E, on a l'équivalence entre l'appartenance de A à $\mathcal{F}$ d'une part et la propriété que tout sous-ensemble fini de A appartient à $\mathcal{F}$ d'autre part^[1].

Propriétés

Soit $\mathcal{F}$ un ensemble de parties de caractère fini. Alors

1. Pour tout $A\in \mathcal{F}$, toute partie (finie ou infinie) de A appartient à $\mathcal{F}$.
2. Si $\mathcal{F}$ est non vide, l'union de toute partie de $\mathcal{F}$ totalement ordonnée par inclusion appartient à $\mathcal{F}$. L'ensemble $\mathcal{F}$ est donc inductif. Par le lemme de Zorn, on déduit donc le lemme de Tukey^[2] (qui en fait équivaut à l'axiome du choix) :

tout ensemble de parties qui est non vide et de caractère fini admet un élément maximal pour l'inclusion.

Exemples

Dans un espace vectoriel E, l'ensemble des parties libres est de caractère fini : une partie de E est en effet libre si et seulement si chacune de ses parties finies l'est. En conséquence, E admet une partie libre maximale pour l'inclusion, autrement dit une base (finie ou non). Plus généralement, cette méthode permet de démontrer le théorème de la base incomplète.

L'existence d'une base de transcendance dans une extension de corps se démontre de la même façon.

Notes et références

1. ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Théorie des ensembles, E.R.29
2. ↑ John Tukey, Convergence and Uniformity in Topology, Princeton University Press, 1940 (ISBN 069109568X) p. 7