Advection

L'advection est le transport d'une quantité scalaire ou vectorielle conservée, par un champ vectoriel. Un exemple est le transport de matière polluante par le flux d'une rivière. En météorologie et en océanographie, l'advection se réfère surtout au transport horizontal de certaines propriétés par les fluides considérés, dont le transport par le vent ou les courants : advection de vapeur d'eau, de chaleur, de salinité, etc.

Description mathématique

Ces propriétés ayant une répartition spatiale, l'opérateur advection s'exprime comme le produit scalaire du vecteur vitesse par le gradient. Cet opérateur est ensuite appliqué à la propriété considérée. On peut le noter :

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla = u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + w \frac{\partial}{\partial z}$

où (u,v,w) sont les composantes de la vitesse $\overrightarrow{v}$ selon les coordonnées (x,y,z).

Cependant, on peut remplacer la coordonnée z par celle de pression en supposant l'hypothèse hydrostatique $\partial p = -\rho g \partial z$ :

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla = u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + \Omega \frac{\partial}{\partial p}$

où

• Ω = − bρg est le déplacement vertical en coordonnées de pression ;
• p est la pression ;
• ρ est la masse volumique du fluide ;
• g est l'accélération terrestre.

Par exemple, l'advection de température T (qui est un scalaire) sera exprimée par :

$\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) T$

ce qui revient à calculer :

$u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y}+ w \frac{\partial T}{\partial z}$

On le retrouve aussi par exemple en mécanique des fluides, cette fois avec un vecteur au lieu d'un scalaire. Par exemple dans l'équation de Navier-Stokes :

$\left(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla\right)\overrightarrow{v}$

qui équivaut alors à appliquer l'opérateur sur chacune des trois composantes (ce qui donne un nouveau vecteur) :

$u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}$

$u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}$

$u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}$