Développement en série de Taylor

Série de Taylor

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Brook Taylor,
Celui dont la série porte le nom.

En analyse, la série de Taylor se définit pour une fonction f indéfiniment dérivable d'une variable réelle ou complexe et en un point a au voisinage duquel la fonction est définie. La série de Taylor de f en a est la série entière suivante :

$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\,$

ce qui s'écrit sous forme synthétique comme suit :

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$.

n! est la factorielle de n (le produit de tous les entiers naturels inférieurs ou égal à n) et f ⁽ⁿ⁾(a) désigne la dérivée nème de f au point a. La notation fait encore sens en analyse fonctionnelle dans les algèbres normées, réelles ou complexes ; mais cette généralisation ne sera pas plus abordée dans cet article.

Si a = 0, la série est aussi appelée une série de Maclaurin.

Fonctions usuelles

Nom de la fonction :	Série de Taylor:		Rayon de convergence :
Exponentielle	ex =	$\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}$	Infini
Logarithme	ln(1 + x) =	$\sum^{\infin}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}n x^n$	1
Somme d'une série géométrique	$\frac{1}{1-x} =$	$\sum^{\infin}_{n=0}x^n$	1
Fonctions trigonométriques :	sin(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$	Infini
	cos(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$	Infini
	tan(x) =	$\sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-1)^n*4^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}$	Pi / 2
	sec(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$	Pi / 2
	arcsin(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$	1
	arccos(x) =	$\frac{\pi}{2} - \sum^{\infin}_{n=0}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$	1
	arctan(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$	1
Fonctions hyperboliques :	sh(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$	Infini
	ch(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}$	Infini
	th(x) =	$\sum^{\infin}_{n=1}\frac{B_{2n} 4^n(4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$	Pi / 2
	argsh(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{(-1)^n (2n)!}{4^n(n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$	1
	argch(x) =	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}$	1
Fonction W de Lambert	W(x) =	$\sum^{\infin}_{n=1}\frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n$	1 / e

|Notations --- Dans les séries de Taylor ci-dessus, on a utilisé les notations suivantes :

• Les nombres B_k apparaissant dans les développements de tan(x) et de th(x) sont les nombres de Bernoulli.
• ${\alpha \choose n}$ est un coefficient binomial.
• Le nombre E_k dans le développement de sec(x) est un nombre d'Euler.

Convergence de la série de Taylor

La série de Taylor est une série entière. Elle admet donc un rayon de convergence R, et sur le disque de centre a et de rayon R, la série converge normalement sur tout compact. Cependant,

• La somme de la série de Taylor de f en a sur son disque de convergence peut être différente de la fonction f ;
• Le rayon de convergence ne donne en général pas plus de renseignements sur la taille du domaine de définition de f.

Par exemple, toutes les dérivées de f définie par f(x)  =  exp(-1/x²) sont nulles en x = 0, et donc la somme de sa série de Taylor de f est nulle, et ainsi son rayon de convergence est infini, alors que la fonction n'est pas du tout nulle. Ce phénomène arrive pour des fonctions plates (toutes les dérivées successives en un point s'annulent).

Si la fonction f vaut la somme de sa série entière au voisinage de a, alors on dit que f est analytique. Cette définition est valable aussi bien pour les fonctions d'une variable réelle que pour les fonctions d'une variable complexe. Toutefois, une fonction d'une variable complexe analytique est appelée holomorphe : pour qu'elle le soit, il suffit de la supposer dérivable ! C'est un des premiers résultats de rigidité en analyse complexe.

Les sommes partielles d'une série de Taylor peuvent être utilisées pour calculer des valeurs approchées de la fonction au voisinage d'un point.

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