Drapeau (Mathématiques)

Drapeau (mathématiques)

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Un drapeau d'un espace vectoriel de dimension finie E est une famille de sous espaces successifs de E, inclus les uns dans les autres, et dont les dimensions augmentent de 1 en 1.

Formellement, si E est de dimension n il s'agit d'une famille $(E_{i})_{0 \leq i \leq n}$ de n+1 sous-espaces vectoriels de E telle que:

• $\forall i \in \{ 0, \ldots ,n \} , \, \dim (E_{i})=i$
• $\{ 0 \} = E_{0} \subset E_{1} \subset \ldots \subset E_{n-1} \subset E_{n} = E$

Exemple : si E est l'espace $\R_n[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à n, les espaces $\R_i[X]$ successifs pour i allant de 0 à n constituent un drapeau de E.

Base adaptée à un drapeau

À toute base $(e_1,\ldots,e_n)$ de l'espace E de dimension finie est associé un drapeau constitué des espaces successivement engendrés : $E_1={\mathrm {Vect}}(e_1), E_2={\mathrm {Vect}}(e_1,e_2),\ldots$.

Réciproquement, un drapeau possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs e_i ainsi : e_i appartient à E_i mais pas à E_{i − 1}.

Drapeau stable par un endomorphisme

Si u est un endomorphisme de E, alors on dit que le drapeau est stable par u si $\forall i \in \{ 1, \ldots , n \} , \, u(E_{i}) \subset E_{i}$.

Par exemple, si on reprend pour E l'espace $\R_n[X]$ et le drapeau formé des espaces $\R_s[X]$ successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X+1)), etc...

Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux

Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel toujours supposé de dimension n. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes:

1. u est trigonalisable.
2. Il existe un drapeau de E stable par u. (ou un drapeau u-stable)

Les drapeaux dans le cadre euclidien

L'espace est de dimension finie et, en outre, muni d'un produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé en base orthonormale.

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