Adjoint (foncteur)

Adjoint (foncteur)

La notion d'adjonction est fondamentale. Elle généralise la notion d'équivalence entre deux catégories. En effet, si F: \mathcal{C}\to \mathcal{D} et G: \mathcal{D}\to \mathcal{C} définissent une équivalence de catégorie entre \mathcal{C} et \mathcal{D}, alors, F et G sont ajoints l'un à l'autre (et ce, "de tous les côtés possibles" : à droite et à gauche ou à gauche et à droite)

Définition

Soient C et D deux catégories, F un foncteur de C dans D et G de D dans C tels que pour tout objet X \in C et Y \in D on ait une bijection naturelle en chaque variable Hom _ D \left( F \left (X \right), Y\right) \approx Hom _ C \left( X , G \left (Y \right) \right). Alors F et G sont des foncteurs adjoints, F est adjoint à gauche de G et G est adjoint à droite de F.

Exemples

  • Le foncteur k-espace vectoriel libre et le foncteur oubli
  • Le module libre sur un ensemble et le foncteur d'oubli
  • Le foncteur de \mathcal(Top) dans \mathcal(Set) qui associe à un espace topologique l'ensemble sous-jacent, ademt un adjoint à gauche et un adjoint à droite. Son adjoint à gauche est le foncteur qui associe à un ensemble le même ensemble muni de la topologie discrète et son adjoint à droite est celui qui le munit de la topologie grossière.
  • Le foncteur de \mathcal(Grp) dans \mathcal(Ab) qui associe à un groupe son quotient par le groupe dérivé admet un adjoint à droite qui est le foncteur qui associe à un groupe commutatif dans \mathcal(Ab) lui même dans \mathcal(Grp).
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