Division Par Zéro

Division par zéro

Une division par zéro est, en mathématiques, une division dans laquelle le diviseur serait zéro. Ainsi, une division par zéro s'écrirait $\textstyle \frac{x}{0}$, où x serait le dividende.

En algèbre, la division par zéro n'est pas définie. En analyse, sous certaines conditions, il est possible de calculer la limite d'un quotient dont le dénominateur est une suite ou une fonction de limite nulle.

En informatique, une tentative de division par zéro cause une erreur qui peut, si le résultat n'en est pas testé, fausser le résultat du programme ou parfois en entraîner l'arrêt prématuré. Dans les machines fonctionnant avec le standard IEEE, le résultat est, selon les cas, Inf, -Inf, ou NaN^[1](« Not a Number », ce qui signifie en anglais « pas un nombre »). Il s'agit de trois valeurs particulières de la représentation des nombres, ayant des propriétés particulières, qui les rendent inutilisables pour les calculs.

Explication de l'impossibilité de la division par 0

L'explication qui suit est valable dans un anneau commutatif quelconque, c'est-à-dire un ensemble muni de deux lois (addition et multiplication) vérifiant les propriétés algébriques usuelles. En particulier, l'ensemble des nombres entiers (relatifs), celui des nombres réels, ou encore celui des nombres complexes rentrent dans ce cadre. On note 0 l'élément neutre de l'addition (le « zéro » en question), et 1 l'élément neutre de la multiplication. Il s'agit de montrer que zéro ne peut pas être un élément inversible de l'anneau.

Si c'était le cas, en notant a l'inverse de zéro, on aurait, par définition d'un inverse, $\scriptstyle 0\times a=1$ (ce qu'on pourrait noter aussi $\scriptstyle a=\frac{1}{0}$). Mais, dans tout anneau, on montre aisément qu'on a, pour tout a, l'égalité $\scriptstyle 0\times a=0$ (on dit que 0 est élément absorbant pour la multiplication). En effet, par distributivité de la multiplication sur l'addition, on peut écrire $\scriptstyle (0+0)\times a=0\times a+0\times a$, et comme on a $\scriptstyle 0+0=0$, cela entraîne, après avoir soustrait $\scriptstyle 0\times a$ à chaque membre, l'égalité $\scriptstyle 0=0\times a$. On obtiendrait alors l'égalité 0 = 1, à partir de laquelle on prouve aisément que tout élément de l'anneau est égal à 0. En résumé, le seul anneau où la notion de division par zéro aurait un sens serait réduit à un seul élément, ce qu'on exclut en général de la définition d'un anneau (qui requiert ainsi que 0 et 1 soient distincts).

C'est pourquoi la division par zéro n'a non seulement pas de sens dans les ensembles de nombres usuels (entiers, réels ou complexes), mais plus généralement dans tout ensemble de nombres vérifiant les propriétés algébriques usuelles vis-à-vis de l'addition et de la multiplication (ce qu'on appelle un anneau). Il n'y a donc pas d'espoir de construire un nouvel ensemble de nombres qui donnerait un sens à l'inverse de zéro (comme celui des nombres complexes donne un sens à la racine carrée de − 1), sauf si l'on accepte de perdre des propriétés essentielles du calcul algébrique usuel (notamment la distributivité de la multiplication sur l'addition).

Exemple de l'impossibilité de la division par 0

Il s'agit d'une démonstration facile qui permet de prouver l'absurdité de la division par 0: si celle-ci est possible, il est en effet possible de montrer que 2 égal 1, ce qui écroule l'ensemble des mathématiques et conclut de la nécessaire impossibilité de la division par 0.

Supposons a = b avec a et b réels.
Multiplions par a:
a² = ab
Ajoutons a² − 2ab:
a² + a² − 2ab = ab + a² − 2ab
D'où, par simplification :
2(a² − ab) = a² − ab
Et, en simplifiant par (a² − ab) :
2 = 1
Où est l'erreur ? Elle réside simplement dans le fait que a et b étant égaux, l'expression (a² − ab) est égale à 0, et qu'en conséquence, simplifier par (a² − ab) revient à diviser par 0.
On en conclut que l'introduction de la division par 0 dans le corps R est impossible car elle conduit à une absurdité.

Notion de limite

Graphe de la fonction inverse

On ne peut ainsi pas donner de sens au quotient $\textstyle \frac{1}{0}$. Mais en analyse, on peut essayer de donner un sens à la limite de la fonction inverse en 0, c'est-à-dire du quotient $\textstyle \frac{1}{x}$ lorsque x tend vers zéro. Ainsi, si x désigne un nombre réel, le quotient $\textstyle \frac{1}{x}$ peut avoir une valeur absolue aussi grande qu'on veut, à condition de prendre x suffisamment proche de zéro. On écrit cela :

$\lim_{x\to 0}\left|\frac{1}{x}\right|=+\infty$,

et on dit que la valeur absolue de ce quotient admet pour limite « plus l'infini » lorsque x tend vers zéro.
Si l'on veut se passer de la valeur absolue, il faut distinguer deux cas, selon que x tend vers zéro par valeurs négatives (dans ce cas, le quotient tend vers $\scriptstyle -\infty$) ou positives (le quotient tend alors vers $\scriptstyle +\infty$).

On écrit : $\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty$,
et : $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty$.

Notes et références

1. ↑ 1/0 donne Inf, -1/0 donne -Inf, 0/0 donne NaN

Voir aussi

• Indétermination de la forme 0/0

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