Discriminant

Incidence du signe du discriminant sur les racines de l'équation du second degré à coefficients réels

En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles équipés d'une addition et d'une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple.

Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques. Sa définition se fonde sur le calcul d'un déterminant.

Polynôme du second degré

Résolution de l'équation à coefficients réels

Article détaillé : Équation du second degré.

Considérons une équation du second degré, ici a, b et c sont trois coefficients réels tel que a est différent de zéro :

$ax^2 + bx + c = 0 \;$

Discriminant de l'équation du deuxième degré —  Le discriminant de l'équation précédente est le nombre Δ défini par :

$\Delta = b^2 - 4ac\;$

La connaissance du discriminant permet de résoudre l'équation :

Résolution de l'équation —  Si le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions x₁ et x₂ données par les formules suivantes :

$x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a}$

Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double :

$ax^2 + bx + c =a(x + \frac b{2a})^2 \quad \text{et}\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}\;$

Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solution réelle.

Résolution de l'équation à coefficients complexes

Article détaillé : Racine de nombre complexe.

Si les coefficients a, b et c sont complexes ou si les solutions complexes de l'équation sont admises, la situation est un peu différente. Le théorème de d'Alembert-Gauss précise qu'il existe toujours au moins une solution à l'équation. Dans l'ensemble des complexes, un nombre admet toujours deux racines carrées, il existe une valeur δ tel que son carré δ² soit égal à Δ :

Racines complexes —  Si le discriminant est différent de zéro, l'équation admet deux solutions x₁ et x₂ données par les formules suivantes :

$x_1 = \frac {-b + \delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \delta}{2a}$

Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double égal à -b / 2a.

Discriminant réduit

Si on écrit l'équation du second degré sous la forme suivante :

$ax^2 + 2b'x + c = 0 \;$

Il devient plus simple d'utiliser une autre expression :

Discriminant réduit —  Le discriminant réduit de l'équation précédente est le nombre Δ' défini par :

$\Delta' = b'^2 - ac\;$

L'expression des racines, si elles existent, devient :

$x_1 = \frac {-b' + \delta'}{a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \delta'}{a}\quad \text{avec}\quad \delta'^2 = \Delta' = b'^2 - ac$

Exemples

Cherchons à résoudre l'équation suivante :

$5x^2 - 5x + 1 = 0 \;$

Le calcul du discriminant Δ et des racines x₁ et x₂ donne :

$\Delta = (-5)^2 -4.5.1=5\quad \text{et}\quad x_1 = \frac {5 + \sqrt 5}{10},\quad x_2 = \frac {5 - \sqrt 5}{10}$

Dans le cas de l'équation suivante, on remarque que le discriminant réduit est nul, il n'existe qu'une racine égale à -3.

$x^2 + 6x + 9 = 0\quad\text{ : }\quad\Delta' = 3^2 -1.9=0\quad\text{ ; comme}\quad x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\;\text{, on a }\quad x_1 = x_2 = -3$

Le dernier exemple décrit une situation où le discriminant est strictement négatif, ici égal à -3. On remarque de i√3 est une racine carrée du discriminant, si i désigne l'unité imaginaire. Ce qui permet de déterminer les solutions :

$x^2 + x + 1 = 0\quad \,$ ⇒ $\quad\Delta = 1^2 -4.1.1=-3 \quad\text{et}\quad x_1 = - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2},\quad x_1 = - \frac {1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

On peut remarquer que ces deux racines sont des racines de l'unité : elles ont pour cube (pour puissance troisième) le nombre un. Le polynôme choisi est un cas particulier de polynôme cyclotomique.

Forme quadratique en dimension deux

Article détaillé : Forme quadratique.

Si le discriminant de la forme quadratique est négatif, l'ensemble des points de R² défini par φ(x, y) = a est une hyperbole. Si a est positif, on obtient une courbe analogue à celle en bleu, si a est négatif en vert. Si a est égal à zéro l'hyperbole est dégénérée, on obtient la figure rouge.

Sur l'ensemble des nombres réels, une forme quadratique φ en dimension deux associe à deux variables x et y un nombre à l'aide de la formule suivante :

$\varphi(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 \quad\text{avec}\quad a,b,c \in \mathbb K$

Une forme quadratique possède aussi une expression matricielle :

$\varphi(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & \frac b2 \\ \frac b2 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Le déterminant de l'expression matricielle est égal à -1/4(b² - 4ac), on retrouve une expression proche de la précédente. Un changement de base, à l'aide d'une matrice de passage P modifie la valeur du déterminant. Plus exactement la valeur dans la nouvelle base est égale à la valeur dans l'ancienne base que multiplie le carré du déterminant de P, le signe du déterminant reste invariant. Cette propriété est analysée dans l'article détaillé.

Pour cette raison, il existe trois définitions différentes du discriminant d'une forme quadratique en dimension deux. Le discriminant d'une forme quadratique dans une base B est le déterminant de la matrice associée à la forme quadratique dans la base B. L'analogie avec la situation précédente permet de définir le discriminant de la forme quadratique comme étant égal à b² - 4ac. Enfin, comme le seul invariant associé au déterminant de la forme quadratique, le discriminant est aussi défini comme le signe du déterminant qui peut prendre les valeurs +1, 0 ou -1.

Le discriminant sépare les formes quadratiques en trois familles. En dimension deux, avec pour définition du discriminant la valeur du déterminant dans la base canonique, si le discriminant est de signe positif pour une valeur a donnée l'ensemble E_a des points (x, y) vérifiant φ(x, y) = a correspond à une ellipse ou à l'ensemble vide. Si le discriminant est nul, alors l'ensemble E_a correspond à une parabole. Si le discriminant est négatif, E_a est une hyperbole. Les formes quadratiques permettent ainsi d'obtenir les trois différentes formes de coniques.

Polynôme de degré quelconque

L'extraction de racine d'un polynôme à l'aide du discriminant ne se généralise pas aux degrés supérieurs à deux. Le discriminant d'un polynôme garde néanmoins une utilité.

Dans le cas des équations de degré deux, le discriminant est nul si et seulement si le polynôme possède une racine multiple. L'existence de racine multiple peut avoir d'importantes conséquences. En algèbre linéaire, la présence de racine multiple dans le polynôme minimal d'un endomorphisme modifie sa nature. Cette présence interdit la diagonalisation. Sur les extensions des nombres rationnels, les polynômes irréductibles, c'est-à-dire qui ne sont pas factorisables, n'ont jamais de racine multiple (cf l'article Extension séparable), cette situation n'est pas vraie pour tous les corps. Dans le cadre de la théorie de Galois, cette distinction est importante, les résultats sont différents selon la configuration.

Définition et propriétés

Article détaillé : résultant.

La généralisation du discriminant d'un polynôme de degré quelconque offre un outil permettant de déterminer si ses racines sont simples ou multiples. Dans ce paragraphe A désigne un anneau intègre et P[X] un polynôme de degré n dont les coefficients sont notés de la manière suivante :

$P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;\text{et}\quad a_n \neq 0$

La dérivée formelle de P est notée P' , elle existe même si A est différent du corps des nombres réels ou complexes. Enfin R désigne le résultant, c'est-à-dire une application qui à deux polynômes associe un élément de A.

• Le discriminant de P, en général noté Δ(P), est la valeur définie par la formule suivante^[1] lorsque deg(P') = n − 1 (avec n = deg(P)) :

$\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{n(n-1)}{2}}{a_n}R(P,P')$

Le coefficient de normalisation possède son importance, un discriminant peut ainsi être également interprété comme un volume orienté. L'usage d'une telle approche devient évidente lors de l'analyse du discriminant d'une forme quadratique ou d'un anneau de Dedekind dans le cadre de la théorie algébrique des nombres.

Certains résultats de la théorie de Galois s'appliquent au discriminant, il faut alors étendre l'anneau A des coefficients. Comme A est commutatif unitaire intègre, il possède un corps des fractions F commutatif et P peut être considéré comme un polynôme à coefficients dans F. Ici K désigne le corps de décomposition de P, c'est-à-dire le plus petit corps contenant F et toutes les racines de P, à un isomorphisme près. Le discriminant possède la propriété suivante :

• Le discriminant du polynôme P est non nul si et seulement il n'admet aucune racine multiple.

La démonstration est une conséquence générale du résultant démontrée dans l'article détaillé. Si un polynôme n'admet aucune racine multiple, il est qualifié de séparable.

Il existe une formule différente permettant d'exprimer le discriminant, à l'aide des racines du polynôme :

• Soit α_i pour i variant de 1 à n, les racines du polynôme P, le discriminant vérifie l'égalité suivante :

$\Delta(P)=a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(\alpha_i-\alpha_j)^2}$

Cette propriété démontre la précédente, elle dérive d'une caractéristique du résultant de deux polynômes. Il est nul si et seulement si les deux polynômes ne sont pas premiers entre eux^[2].

Démonstration

D'après les propriétés du résultant (cf l'article détaillé), le discriminant est égal à :

$R(P,P') = (-1)^{n(n-1)}a_n^{n-1}\prod_{i=1}^n P'[\alpha_i]=a_n^{n-1}\prod_{i=1}^n P'[\alpha_i]$

Le polynôme P vérifie l'égalité suivante, ce qui, par dérivation donne :

$P=a_n\prod_{j=1}^n (X-\alpha_j)\quad \text{et}\quad P' = a_n\sum_{k=1}^n \prod_{j=1 \atop j \neq k}^n (X - \alpha_j)$

On en déduit l'expression de P' (α_j) :

$P'(\alpha_i)= a_n\sum_{k=1}^n \prod_{j=1 \atop j \neq k}^n (\alpha_i - \alpha_j)= a_n\prod_{j=1 \atop j \neq i}^n (\alpha_i - \alpha_j)$

Ce qui fournit l'expression suivante du discriminant :

$R(P,P')=a_n^{2n-1}\prod_{i\neq j} (\alpha_i - \alpha_j)= a_n^{2n-1}\prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)(\alpha_j - \alpha_i)$

Comme il existe exactement n(n - 1)/2 couples (i, j) tel que i est strictement plus petit que j, on en déduit :

$R(P,P')=(-1)^{\frac {n(n-1)}2} a_n^{2n-1}\prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)^2$

La définition du discriminant permet de conclure.

Exemples

• Pour les polynômes du second degré et avec les notations du premier paragraphe, on obtient :

$\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{2(2-1)}{2}}{a}\begin{vmatrix} & a & 2a & 0 &\\ & b & b & 2a &\\ & c & 0 & b &\\ \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} & 1 & 2 & 0 &\\ & b & b & 2a&\\ & c & 0 & b &\\ \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b & 2a &\\ 0 & b &\\ \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} b & 2a &\\ c & b &\\ \end{vmatrix} = b^2 - 4ac$

• Pour les polynômes de degré trois on considère généralement le polynôme normalisé, c'est-à-dire celui dont le monôme dominant est égal à 1. et avec les notations suivantes :

$P = X^3 + aX^2 + bX + c \;$

On obtient^[3] :

$\Delta(P) = (-1)^\frac{3(3-1)}{2}\begin{vmatrix} & 1 & a & b & c & 0\\ & 0 & 1 & a & b & c &\\ & 3 & 2a & b & 0 & 0 &\\ & 0 & 3 & 2a & b & 0 &\\ & 0 & 0 & 3 & 2a & b &\\ \end{vmatrix} = a^2b^2 + 18abc - 4b^3 - 4a^3c - 27c^2\;$

L'expression est un peu complexe, pour cette raison, la tradition est de réaliser des substitutions pour obtenir un polynôme de la forme suivante, le discriminant est alors plus simple :

$P = X^3 + pX + q \quad\text{et}\quad \Delta(P) = -4p^3 - 27q^2\;$

Dans le cas d'une équation polynomiale de degré 3 à coefficients réels, si le discriminant est strictement négatif l'équation admet trois solutions réelles, si le déterminant est nul une racine est multiple et toutes sont réelles, si le déterminant est strictement positif, l'équation n'admet qu'une solution réelle, les deux autres sont complexes conjugués.

• Les courbes elliptiques sont un cas particulier de polynômes du troisième degré à deux variables. Pour le cas simple d'une courbe elliptique de la forme y² = x³ + ax + b, où les coefficients a,b sont des nombres réels, le discriminant est défini par Δ = − 16(4a³ + 27b²).

Expression générale

L'expression générale du discriminant du polynôme P défini par :

$P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;$

est la suivante :

$\Delta(P)=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\begin{vmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & n & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-1} & a_n & \ddots & \vdots & (n-1)a_{n-1}& na_n & \ddots & \vdots \\ \vdots & a_{n-1}& \ddots & 0 & \vdots & (n-1)a_{n-1}& \ddots & 0 \\ a_0 & \vdots & \ddots & a_n & a_0 & \vdots & \ddots & na_n \\ 0 & a_0 & & a_{n-1}& 0 & a_0 & & (n-1)a_{n-1}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots &\vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_0 &0 & \cdots & 0 & a_0 \\ \end{vmatrix}$

Discriminant d'un anneau d'entiers algébrique

Article détaillé : forme trace.

La théorie algébrique des nombres utilise la notion de discriminant à partir d'une définition qui semble bien différente. Elle correspond à un déterminant d'une forme quadratique et s'applique à un anneau commutatif A. Les deux définitions sont néanmoins intimement corrélées. S'il existe un entier algébrique a tel que l'anneau A est égal à Z[a], ici Z désigne les entiers relatifs, alors le polynôme minimal de a possède ses coefficients dans Z. Son discriminant au sens des polynômes est égal au discriminant de l'anneau au sens de la théorie algébrique des nombres.

Notes et références

1. ↑ Cette définition est fréquente. On la trouve, par exemple dans (en) Eric W. Weisstein, « Polynomial Discriminant », MathWorld ou encore Résultant et discriminant sur le site bibmath.net. Cependant le coefficient de normalisation n'est pas toujours présent. C'est par exemple le choix fait dans Résultant. Discriminant, sur le site les-mathematiques.net.
2. ↑ La démonstration proposée ici provient de (en) The geometry of the discriminant of a polynomial, par R. W. D. Nickalls et R. H. Dye, The Mathematical Gazette, 80, Juillet 1996, p. 279–285.
3. ↑ Cette formule se trouve par exemple dans l'article (en) Discriminant de l'Encyclopædia Britannica.

Annexes

Bibliographie

• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
• Daniel Perrin, Cours d'algèbre  [détail des éditions]
• (en) Robert J. Walker, Algebraic curves, Springer, 1978 (ISBN 978-03-879-0361-3)

Liens externes

• Le théorème de Bézout et le résultant de deux polynômes par Michel Waldschmidt
• Racines des polynômes à une indéterminée par N. Lanchier (un résumé des différentes propriétés au niveau de l'agrégation)