Action (physique)
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En physique théorique, l’action est une grandeur physique scalaire ayant pour dimension le produit d'une énergie par un temps.

Par exemple, le moment cinétique est une action.

Sommaire

Principe de moindre action

Énoncé

L'importance de l'action en physique est due à l'existence d'un principe très général, appelé principe de moindre action : le trajet effectivement suivi par un objet entre deux points donnés est celui qui conduit à une valeur stationnaire de l’action. Lorsque la trajectoire reliant les deux points est suffisamment petite, cet extremum de l'action est un minimum, d'où le nom donné au principe.

Commentaires

Par exemple, en mécanique, au lieu de penser accélération sous l’effet de forces, on raisonne en termes de chemin d’action stationnaire.

Ce principe de moindre action s’est avéré simple, puissant et général à la fois en mécanique classique où il est strictement équivalent aux lois de Newton et en mécanique quantique ou relativiste et en électromagnétisme où sa généralisation a été très fructueuse.

Beaucoup de problèmes de physique peuvent être résolus en partant de ce principe :

  • que ce soit pour trouver le trajet du maître nageur pour atteindre le plus rapidement une personne en train de se noyer ou pour trouver le parcours de la lumière ou le trajet dans un champ gravitationnel d’un point à un autre .
  • que se soit pour établir les équations de Maxwell ou les bases de la mécanique quantique dans la formulation de Feynman en intégrale de chemin.

Les symétries d’une situation physique peuvent être mieux traitées, par exemple en utilisant le théorème de Noether qui établit qu’à toute symétrie continue correspond une loi de conservation.

D’abord formulé par Pierre Louis Moreau de Maupertuis, puis développé par Euler et surtout Lagrange (Pierre de Fermat avait déjà établi un principe de moindre temps pour le trajet de la lumière), le principe de moindre action avait conduit à la formulation Lagrangienne et Hamiltonienne de la mécanique classique.

Ce principe est un des plus importants principes de base de la physique.

Formalisation

Un lagrangien  \mathcal{L}[\varphi_i] , appelé ainsi en l’honneur de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques \ \varphi_i(s) qui décrit de façon concise les équations de mouvement du système

Les équations du mouvement s’obtiennent selon le principe d’action stationnaire en écrivant que :

 \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

où l’action est :

 \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

{}{}{}{}\ s_\alpha désigne une base de variables.

Les équations du mouvement obtenues ainsi sont identiques aux équations d’Euler Lagrange, et sont appelées un système dynamique Lagrangien

Les exemples de systèmes dynamiques Lagrangiens vont du Modèle standard aux équations de Newton à des problèmes de mathématiques pures tels que les équations géodésiques

Un exemple de mécanique classique

La mécanique Lagrangienne est une reformulation de la mécanique classique. Le Lagrangien est défini comme l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle :

\mathcal{L} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}).

L’équation de Euler-Lagrange associé s'écrit alors :

m\ddot{\vec{x}}+\nabla V(\vec{x})=0.

Si l'on considère que \vec{F}=- \nabla V(x), on retrouve la deuxième loi de Newton c'est-à-dire :

 m\ddot{\vec{x}} = \vec{F}.

En coordonnées sphériques : r, θ, φ le Lagrangien s’écrit :

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).

Les équations d’Euler-Lagrange donnent alors :

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Dans ce cas le paramètre  \ s_i est simplement le temps, et les variables dynamiques  \ \phi_i(s) donnent la trajectoire  \vec x(t) de la particule.

Voir aussi


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