Deltoide (courbe)

Deltoïde (courbe)

La courbe en rouge est une deltoïde.

La deltoïde n'est autre qu'une hypocycloïde à trois rebroussements. Elle fut étudiée pour la première fois par Léonard Euler en 1745.

Équations cartésiennes

En écrivant la position du point d'un cercle de rayon a roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon 3a, on obtient l'équation paramétrique suivante :

$x=2a\cos(t)+a\cos(2t) \,$

$y=2a\sin(t)-a\sin(2t) \,$

La deltoïde comme enveloppe d'un segment dont les extrémités sont astreintes à suivre la courbe

L'équation cartésienne est de la forme :

(x² + y²)² + 18(x² + y²) = 8x³ − 24y²x + 27

ce qui montre que cette courbe est algébrique de degré 4. Elle possède trois points singuliers (les trois points de rebroussement), et elle est de genre zero.

Propriétés géométriques

1. Une règle dont les deux extrémités sont astreintes à glisser sur la deltoïde vient tangenter la deltoïde en un troisième point : le point de tangence décrit deux fois la deltoïde lorsque les extrémités ne la décrivent qu'une fois.
2. L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde (théorème dû à Jakob Steiner).
3. La développante de la deltoïde a pour équation cartésienne

x³ − x² − (3x + 1)y² = 0, Elle présente un point double à l'origine, ce que l'on peut vérifier en opérant une rotation imaginaire y → iy, qui aboutit à l'équation :

x³ − x² + (3x + 1)y² = 0 courbe qui présente un point double à l'origine dans $\mathbb{R}^2$.

Références

• Jacques Hadamard - On the three-cusped hypocycloid (1945), Mathematical Gazette, vol. 29, pp. 66-67

Voir aussi

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