052631578947368421

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052 631 578 947 368 421 est un nombre cyclique, c'est-à-dire que ses multiples sont obtenus par permutations circulaires des chiffres de ce nombre. Sa particularité est de se former d'une façon très simple.

Obtention du nombre

On écrit d'abord l'unité: 1

Puis on la multiplie par deux, et on inscrit le résultat à sa droite de l'unité

On recommence à chaque fois le calcul et on écrit toujours le résultat à droite. Attention de ne pas oublier les retenues.

Etape Ce que l'on fait Calcul Retenu Résultat Avancement
1 On écrit d'abord l'unité: 1 -- 1 1
2 Puis on multiplie 1 par deux 1 x 2 = 1 -- 2 21
3 On multiplie 2 par deux 2 x 2 = 4 -- 4 421
4 On multiplie 4 par deux 4 x 2 = 8 -- 8 8421
5 On multiplie 8 par deux 8 x 2 = 16 1 6 68421
6 On multiplie 6 par deux plus la retenu 6 x 2 + 1 = 13 1 3 368421
7 On multiplie 3 par deux plus la retenu 3 x 2 + 1 = 7 -- 7 7368421
8 On multiplie 7 par deux 7 x 2 = 14 1 4 47368421
9 On multiplie 4 par deux plus la retenu 4 x 2 + 1 = 9 -- 9 947368421
10 On multiplie 9 par deux 9 x 2 = 18 1 8 8947368421
11 On multiplie 8 par deux plus la retenu 8 x 2 + 1 = 17 1 7 78947368421
12 On multiplie 7 par deux plus la retenu 7 x 2 + 1 = 15 1 5 578947368421
13 On multiplie 5 par deux plus la retenu 5 x 2 + 1 = 11 1 1 1578947368421
14 On multiplie 1 par deux plus la retenu 1 x 2 + 1 = 3 -- 3 31578947368421
15 On multiplie 3 par deux 3 x 2 = 6 -- 6 631578947368421
16 On multiplie 6 par deux 6 x 2 = 12 1 2 2631578947368421
17 On multiplie 2 par deux plus la retenu 2 x 2 + 1 = 5 -- 5 52631578947368421
18 On rajoute un zéro 0 -- 0 052631578947368421

Propriétés

A part 9 et 0, tous les chiffres sont présents deux fois dans le nombre.

Les nombres cycliques sont liés aux décimales récurrentes des fractions unitaires.

Ainsi:

n=\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}
\Leftrightarrow\frac{10^8}{19}=052631578947368421.\overline{052631578947368421}
\Leftrightarrow\frac{10^8}{19}=052631578947368421+n
\Leftrightarrow\frac{10^8}{19}-n=052631578947368421
\Leftrightarrow\frac{10^8}{19}-\frac{1}{19}=052631578947368421
\Leftrightarrow\frac{10^8-1}{19}=052631578947368421
et l'on trouve \frac{999999999999999999}{19}=052631578947368421

Et comme 19 est un nombre premier, il répond au théorème de Midy et au Théorème de Midy étendu:

\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}

En divisant une période en blocs de taille 9 ou 6 ou 3 ou 2 et en sommant, on trouve:

052631578+947368421=999999999= 1\times(10^9-1)
052631+578947+368421=999999= 1\times(10^6-1)
052+631+578+947+368+421=2997=3\times999= 3\times (10^3-1)
05+26+31+57+89+47+36+84+21=396=4\times99= 4\times (10^2-1)

Multiples

La rang donné est l'endroit où il faut commencer à lire le nombre originel pour obtenir son multiple, ceci en partant de la fin du nombre.

n n / 19 = n × 052631578947368421 Rang de début de lecture
1 1 / 19 = 0.\overline{052631578947368421} 052 631 578 947 368 421 18
2 2 / 19 = 0.\overline{105263157894736842} 105 263 157 894 736 842 1
3 3 / 19 = 0.\overline{157894736842105263} 1 578 947 368 42105 263 13
4 4 / 19 = 0.\overline{210526315789473684} 210526 315 789 473 684 2
5 5 / 19 = 0.\overline{263157894736842105} 2 631 578 947 368 42105 16
6 6 / 19 = 0.\overline{315789473684210526} 31 578 947 368 4210526 14
7 7 / 19 = 0.\overline{368421052631578947} 368 421052 631 578 947 6
8 8 / 19 = 0.\overline{421052631578947368} 421052 631 578 947 368 3
9 9 / 19 = 0.\overline{473684210526315789} 47 368 4210526 315 789 8
10 10 / 19 = 0.\overline{526315789473684210} 52 631 578 947 368 4210 17
11 11 / 19 = 0.\overline{578947368421052631} 578 947 368 421052 631 12
12 12 / 19 = 0.\overline{631578947368421052} 631 578 947 368 421052 15
13 13 / 19 = 0.\overline{684210526315789473} 68 4210526 315 789 473 5
14 14 / 19 = 0.\overline{736842105263157894} 7 368 42105 263 157 894 7
15 15 / 19 = 0.\overline{789473684210526315} 78 947 368 4210526 315 11
16 16 / 19 = 0.\overline{842105263157894736} 8 42105 263 157 894 736 4
17 17 / 19 = 0.\overline{894736842105263157} 8 947 368 42105 263 157 10
18 18 / 19 = 0.\overline{947368421052631578} 947 368 421052 631 578 9
19 19 / 19 = 0.\overline{999999999999999999} = 1 999 999 999 999 999 999 --
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