0.999...

Développement décimal de l'unité

Le nombre 0,99999..., la décimale 9 se répétant à l'infini.

Le développement décimal de l'unité ou paradoxe de l'égalité entre 0,9999... et 1 est une curiosité mathématique qualifiée de paradoxe en raison de son caractère contre-intuitif. Il correspond à l'égalité entre les deux écritures du développement décimal de l'unité :

1 = 0,\underline{9}, avec 0,\underline{9} = 0,99999...

Sommaire

Première démonstration (via résolution d'une équation)

Soit x un nombre réel.

x = 0,\underline{9}

En multipliant par 10, il s'ensuit que :

10x = 9,\underline{9}

On a donc:

10x = 9 + 0,\underline{9} =  9+x

Il en résulte que :

9x = 9\underline{}

Finalement :

x = 1\underline{}

Explication

Le côté contre-intuitif de ce raisonnement tient au fait que, dans notre esprit, l'écriture 0,\underline{9} = 0,99999... correspond à une suite finie de 9 (c'est-à-dire 0,9999...9). Ainsi la multiplication par 10 puis le résultat de la soustraction choque l'esprit et semble faux (qui le serait d'ailleurs si la suite de 9 était finie). Ici elle est juste car 0,\underline{9} = 0,99999... correspond à une infinité de 9.

Deuxième démonstration (via des fractions)

On pose l'égalité issue de l'algorithme de la division :

\frac{1}{3} = 0,\underline{3}

En multipliant par 3, il vient :

\frac{3}{3} = 3 \times 0,\underline{3}

Il s'ensuit que :

1 = 0,\underline{9}

Troisième démonstration (avec une série)

Formalisation de 0,99999…

Pour une démonstration plus rigoureuse, il faut commencer par définir parfaitement ce qu'est 0,999…

En écrivant 0,99999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … , on définit 0,99999… comme la somme (de tous les termes) d'une série géométrique de premier terme a = 0,9 et de raison q = 1/10.

Ainsi : 
  0,\underline{9} = 0,99999\ldots = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} 0,9 \times \frac{1}{10^i}

Démonstration par la limite de la série

On peut aisément montrer que la somme des n premiers termes d'une série géométrique de raison q et de premier terme a vaut : 
  S_n = a \times \frac{1-q^n}{1-q}

Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l'infini, si et seulement si q est strictement compris entre -1 et 1, et cette limite est alors : 
  S = \frac{a}{1-q}

Ici, a = 0,9, q = 1/10, q est plus petit que 1, donc la limite existe et vaut 
  S = \frac{0,9}{1-1/10} = 1

Le paradoxe illustré par l'exemple de l'unité est que tout nombre décimal, c'est-à-dire admettant un développement décimal fini, admet également un développement infini (formé uniquement de 9 à partir d'un certain rang). Le développement fini est l'écriture propre, celui comportant une infinité de 9 est l'écriture impropre. Finalement, ce sont les objets apparemment les plus simples en écriture décimale qui offrent les pires complexités : on croit que 1 est plus simple à écrire en écriture décimale que Pi, et pourtant Pi admet une écriture unique, alors que 1 en admet deux.

Il est important de se souvenir que l'écriture décimale n'est qu'une des multiples manières de représenter un nombre en mathématiques.

Voir aussi

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