Critère D'irréductibilité De Mackey

Critère D'irréductibilité De Mackey

Critère d'irréductibilité de Mackey

George Mackey

En mathématiques, et plus précisément dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe, le critère d'irréductibilité de Mackey propose une condition nécessaire et suffisante pour qu'une représentation induite soit représentation irréductible.

Ce résultat[1] est nommé en l'honneur du mathématicien George Whitelaw Mackey (1916-2006).

Sommaire

Énoncé

Il est nécessaire de fixer le vocabulaire et les outils utilisés pour énoncer le critère.

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G. K est un corps commutatif de caractéristique soit nulle soit première avec g l'ordre du groupe. Si K est de caractéristique finie alors il est algébrique. Dans tous les cas le polynôme Xg - 1 est scindé sur K.

Soit s un élément de G et Hs le sous-groupe intersection de H avec le conjugué de H par s. W est un espace vectoriel sur le corps K.

H_s=sHs^{-1}\cap H

Soit (W, θ) une représentation de H et (V, ρ) la représentation induite de G par (W, θ). θs désigne la représentation de Hs dans le groupe linéaire GL(W) défini par :

\forall h \in H_s \quad \forall w \in W \quad \theta^s_h(w)=\theta_{s^{-1}hs}(w)

On parle alors de représentation conjuguée de (W, θ).

Le critère de Mackey s'énonce de la manière suivante :

  • La représentation (V, ρ) est irréductible si et seulement si (W, θ) est irréductible et les différentes représentations θs restriction de θ à Hs sont disjointes quand s est un élément de G - H.

Il existe un corollaire, dans le cas où le groupe H est distingué :

  • La représentation induite de G par celle de H (W, θ) est irréductible si et seulement si (W, θ) est irréductible et n'est isomorphe à aucune représentation conjugué θs.

Remarque : Ce résultat se généralise dans le cas où le groupe est topologique localement compact et la représentation unitaire dans un espace de Hilbert.

Les démonstrations se trouvent dans la boîte déroulante ci-dessous.

Contexte

Restriction d'une représentation induite à un sous-groupe

Une question naturelle est celle de la nature d'une représentation induite sur la restriction de ρ à S. Pour cela, la définition des doubles classes modulo H et S est nécessaire :

  • Une double classe de G modulo H et S est un sous-ensemble E de G tel qu'il existe un élément s de G vérifiant E = SsH.

Il est aisé de vérifier que l'ensemble des doubles classes forment une partition de G. On dispose de la même définition que pour les classes à gauche ou à droite :

  • Un système de représentants C pour les doubles classes est sous-ensemble d'éléments c de G tel que ScH forment une partition de G si c parcourt C.
  • La restriction à S de la représentation induite (V, ρ) par (W, θ) est la somme directe des représentations induites de S par (W, θc) si c décrit C un ensemble de représentants des doubles classes de G modulo H et S.


Réciprocité de Frobenius

Article détaillé : Réciprocité de Frobenius.

Avec les notations du paragraphe précédent, la formule de réciprocité de Frobenius s'exprime par :

  • Si ψ et χ désignent les caractères respectifs de θ et ρ :
<Ind_H^G \;\psi\; |\; \chi>_G=<\psi\; |\; Res_H^G\; \chi>_H

Il est possible de généraliser la formule :

  • Soit f une fonction centrale de H et g une fonction centrale de G, alors l'égalité suivante est vérifiée :
<Ind_H^G \; f\; |\;g>_G=<f\; |\;Res_H^G \; g>_H

Une autre manière d'exprimer cette propriété est la suivante :

  • L'application IndHG est l'adjointe de ResHG.

Notes et références

Notes

  1. George W. Mackey Induced Representations of Locally Compact Groups IThe Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 55, No. 1 (Jan., 1952), pp. 101-139

Liens externes

Références

  • Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
  • (en) Marshall Hall, The theory of groups [détail des éditions]
  • Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
  • N. Bourbaki Algèbre, Chapitre VIII Paris, Hermann 1958
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