Cosinus hyperbolique

Graphe de la fonction cosinus hyperbolique sur une partie de $\mathbb R$

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction cosinus hyperbolique, notée ch (ou cosh dans les pays Anglo-saxons) est la fonction réelle suivante :

$\begin{matrix} \cosh: &\mathbb R &\longrightarrow &\mathbb R \\ \ &x &\longmapsto &\frac {e^x+e^{-x}} {2} \end{matrix}$

où $x\mapsto e^x$ est la fonction exponentielle.

La fonction cosinus hyperbolique est la partie paire de la fonction exponentielle.

La fonction cosinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

La notation Ch. x a été introduite par Vincenzo Riccati au XVIIIème siècle.

On peut étendre sans problème le cosinus hyperbolique sur $\mathbb{C}$ en utilisant l'exponentielle complexe.

Propriétés

Propriétés générales

• cosh est continue et infiniment dérivable, dite de classe $C^\infty$
• La dérivée de cosh est sinh, la fonction sinus hyperbolique.
• La primitive de cosh est sinh+C, à une constante d'intégration C près.
• cosh est paire et strictement croissante sur $\mathbb R^+$.

Propriétés trigonométriques

De par les définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on peut déduire les égalités suivantes valable pour tout réel x :

$e^x = \cosh(x) + \sinh(x) \,$

$e^{-x} = \cosh(x) - \sinh(x) \,$

Ces égalités sont analogues aux formules d'Euler en trigonométrie circulaire.

De même que le point M de coordonnées (cos(t), sin(t)) parcourt, quand t décrit $\mathbb{R}$ un cercle d'équation x² + y² = 1, celui de coordonnées (cosh(t), sinh(t)) parcourt une branche d'une hyperbole équilatérale d'équation x² − y² = 1 . On a en effet pour tout réel t :

$\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1 \,$.

D'autre part, pour $x \in \mathbb R$ :

$\cosh(i x) = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}2= \cos(x)$

$\cosh(x) = \cos(i x) \,$

$\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y) \,$

$\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}$

L'utilisation de formules trigonométriques telles que sin(2t) = ^{(2 tan t)}⁄_{(1+tan² t)} permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel x) :

$\cosh(x)=\frac1{\sin(2\times\arctan(e^x))}$ ;

voir également l'article Gudermannien.

Développement en série de Taylor

cosh, étant indéfiniment dérivable, possède un développement en série de Taylor en tout point :

$\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

Valeurs

Quelques valeurs de cosh :

• $\cosh(0) = 1 \,$
• $\cosh(1) = \frac {e^2+1}{2e}$
• $\cosh(i) = \cos(1) \,$

Zéros

Tous les zéros de cosh  sont des imaginaires purs. Plus précisément, pour tout nombre complexe z,

$\cosh(z)=0 \Leftrightarrow z \in i\pi(\Z+\frac12)~.$

En effet, soit z = x + iy avec x,y réels. On a alors cosh(z) = cosh(x)cos(y) + isinh(x)sin(y), donc

$\cosh(z)=0 \Leftrightarrow \cos(y)=0 \mbox{ et } \sinh(x)=0 \Leftrightarrow y \in \{\pi / 2 +k \pi ; k \in \mathbb{Z}\} \mbox{ et } x=0$.

Fonction réciproque

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur $\left[1;+\infty\right[$

cosh restreinte à $\left[0;+\infty\right[$ est continue et strictement croissante, donc admet une fonction réciproque, notée argcosh (ou argch), et nommée argument cosinus hyperbolique.

Sur $\mathbb{C}$, il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure le segment $\left]-\infty;1\right[$.

$\operatorname{argcosh}(z) = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt {z-1})$

Pour $x \in \left[1;+\infty\right[$, il existe deux réels dont le cosh vaut x :

$\operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ et

$-\operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)~.$

En effet, en posant $t=\operatorname{argcosh}(x)$ et en utilisant que cosh ²t − sinh ²t = 1 et t > 0, on obtient $e^t=\cosh t+\sinh t= x+\sqrt {x^2-1}$.

Utilisation

Physique

La courbe représentative de la fonction cosh sur $\mathbb R$ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.

Architecture

Le cosinus hyperbolique correspond en architecture à l'arc caténaire issu au départ de l'ingénierie des ponts suspendus. Antoni Gaudí a été l'un des premiers à l'utiliser massivement en architecture commune avec en particulier deux de ses œuvres les plus connues : la Crypte de la Colonia Güell et la Sagrada Família.

L'arche du Gateway

L'arche du Gateway à Saint-Louis (Missouri) possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

$y=-39 \cosh \left( \frac{x}{39} \right)+231$

pour -96 < x < 96.

Voir aussi

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• Fonction hyperbolique
• Sinus hyperbolique
• Tangente hyperbolique