Constante de Gelfond

En mathématiques, la constante de Gelfond, nommée en l'honneur d'Aleksandr Gelfond, est

$e^\pi \,$

c’est-à-dire, e à la puissance de $\pi\,$. Comme e et π, cette constante est un nombre transcendant. Ceci peut être démontré par le théorème de Gelfond-Schneider et en notant le fait que

$e^\pi\; = \; (e^{i\pi})^{-i} \; = \;(-1)^{-i}$

où i est l'unité imaginaire. Puisque - i est algébrique, mais certainement non rationnel, $e^{\pi}\,$ est transcendant. La constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est $2^{\sqrt{2}}\,$, connue sous le nom constante de Gelfond-Schneider.

Valeur numérique

Sous forme décimale, la constante est égale à

$e^\pi \approx 23,140692632... \,$

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

$k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}}}$

où $k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Après N itérations, l'approximation est donnée par

$\left(\frac{k_N}{4}\right)^{\frac{-1}{2^N}}.$

Développement décimal remarquable

Le nombre

$e^\pi-\pi \approx 19,99909998... \,$

est un nombre presque entier.

Voir aussi

• Constante de Gelfond-Schneider
• Théorème de Gelfond-Schneider
• Septième problème de Hilbert

Lien externe

• Constante de Gelfond sur MathWorld