Abscisses de Tchebychev

Polynôme de Tchebychev

Les polynômes de Tchebychev sont nommés d'après le mathématicien Pafnouti Tchebychev. Ils forment une famille de polynômes indexés par les entiers. Le polynôme de Tchebychev (de première espèce) Tn d'indice n = 0,1,2,... est uniquement défini par la propriété suivante : pour tout nombre réel x,

 T_{n}(\cos(x)) = \cos(nx) \,.

Les premiers polynômes de Tchebychev sont :

T_0(X)=1\,
T_1(X)=X\,
T_2(X)=2X^2-1\,
T_3(X)=4X^3-3X\,.

Il existe aussi des polynômes de Tchebychev de seconde espèce, Un définis par :

U_{n}(\cos(x)) = \frac{\sin((n+1) x)}{\sin x},\quad n\in \N,\quad x\in\R.\,
  • Les polynômes de Tchebychev sont uniques, ils forment une famille de polynômes orthogonaux par rapport à une fonction poids définie plus bas.
  • Les polynômes de Tchebychev Tn, Un sont de degré n, ils vérifient tous les deux la relation de récurrence suivante :
f_{n+2}(X)+f_{n}(X) = 2X \times f_{n+1}(X).

Sommaire

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 1re espèce

  • On a :
T_n(X)=\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2X)^{n-2k},\quad n\ne0.
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},

sur l'intervalle ]−1,1[, c'est-à-dire :

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{
\begin{matrix}
0 &: n\ne m~~\\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{matrix}
\right.
  • Quel que soit n
T_{n}(1)=1\,.
  • Quels que soient m et n
T_{n}(T_{m}(X))=T_{mn}(X)\,.
  • Les valeurs :
a_k^{(n)} = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)\;,\quad k\in\{1,...,n\},\quad n\ne0,

sont les n racines de Tn.

  • La parité dépend de n:
T_{n}(-X)=(-1)^nT_{n}(X)\,.
  • \forall m \in \mathbb N^* Le coefficient dominant est : 2m − 1
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
(1-X^2)T_{n}''(X)-XT_n'(X)+n^2T_n(X)=0\,,
  • Représentation intégrale :
T_n(x)=\frac{1}{4i\pi}\int_C\frac{1}{z^n}\frac{1-z^2}{z(1-2xz+z^2)}dz\,

avec C un contour dans plan complexe autour de zéro, dans le sens positif. Les zéros de (z − 2xz + z2) étant en dehors de C.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T0, et T1, T2, T3, T4 et T5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2e espèce

  • les premiers polynômes sont :
U_0(X)=1\,
U_1(X)=2X\,
U_2(X)=4X^2-1\,.
  • Pour tout réel X, on a :
U_n(X)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \binom{n-k}{k}~(2X)^{n-2k},\quad n\ne0.
  • les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont orthogonaux avec le poids
\sqrt{1-x^2}

sur l'intervalle [−1,1], c'est-à-dire :

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = 
\begin{cases}
0     &: n\ne m\\
\pi/2 &: n=m
\end{cases}
  • Pour tout n entier
Un(1) = n + 1,
  • Les valeurs
a_k^{(n)} = \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right)\;,\quad k\in\{1,...,n\},\quad n\ne0,

sont les n racines de Un.

  • La parité dépend de n :
U_{n}(-X)=(-1)^nU_{n}(X)\,.
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante:
(1-X^2)U_{n}''(X)-3XU_n'(X)+n(n+2)U_n(X)=0\,.
  • Représentation intégrale :
U_n(x)=\frac{1}{2i\pi}\int_C\frac{1}{z^n}\frac{1}{z(1-2xz+z^2)}dz\,

avec C un contour dans plan complexe autour de zéro, dans le sens positif. Les zéros de (z − 2xz + z2) étant en dehors de C.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U0, et U1, U2, U3, U4 et U5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
 U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
 U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
 U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,

Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales

T_{n}(X)=U_{n}(X)-X U_{n-1}(X)\,.
T_{n}(X)=\frac{n}{2}C_{n}^{(0)}(X),
U_{n}(X)=C_{n}^{(1)}(X),

avec C_n^{(k)} un polynôme de Gegenbauer et

T_{n}(X)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-X}{2}\right),
U_{n}(X)=(n+1)F\left(-n,n+2;\frac{3}{2};\frac{1-X}{2}\right),

avec F la fonction hypergéométrique.

Intérêt

Tchebychev a découvert ceux-ci en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer que pour minimiser l'erreur engendrée par l'interpolation (cf. phénomène de Runge), il faut choisir les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation. Dans ce contexte, ces  a_k^{(n)} données ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a,b] considéré (par une transformation affine x\mapsto\tfrac{b-a}{2}x+\tfrac{b+a}{2}), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

Les polynômes de Tchebychev sont impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Ils peuvent également servir à démontrer le théorème de Weierstrass (Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes).

Bibliographie

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