Conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre entier pair strictement supérieur à 3 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé deux fois). C'est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques.

Par exemple,

  4 = 2 + 2

  6 = 3 + 3

  8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

etc.

Une formulation équivalente via une division par deux :

Tout nombre entier strictement supérieur à 1 est la moyenne arithmétique de deux nombres premiers.

Origine

Lettre de 1742 à Euler dans laquelle Goldbach introduit sa conjecture

En 1742, le mathématicien prussien Christian Goldbach écrivit au mathématicien suisse Leonhard Euler une lettre dans laquelle il proposait la conjecture suivante :

Tout nombre supérieur ou égal à 3 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers.

(Goldbach admettait 1 comme nombre premier ; la conjecture moderne exclut 1, et remplace donc 3 par 6.)

Ceci est équivalent à ce que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 soit somme de deux nombres premiers :

• n'importe quel nombre supérieur ou égal à 6 peut être obtenu en ajoutant 2 ou 3 à un nombre pair supérieur ou égal à 4.

• inversement, pour tout entier pair n supérieur ou égal à 4, si n+2 peut s'écrire comme somme de trois nombres premiers, l'un d'eux est nécessairement pair, donc égal à 2, donc n est somme de deux nombre premiers.

Une version plus faible de la conjecture stipule simplement que tout nombre impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

Justification heuristique

La majorité des mathématiciens pense que la conjecture de Goldbach est vraie, surtout sur des considérations statistiques axées sur la répartition probabiliste des nombres premiers : plus le nombre est grand, plus il y a de manières disponibles pour le représenter sous forme de somme de deux ou trois autres nombres, et la plus « compatible » devient celle pour qui au moins une de ces représentations est constituée entièrement de nombres premiers.

Une version très grossière de l'argument probabiliste heuristique (pour la forme forte de la conjecture de Goldbach) est la suivante. Le théorème des nombres premiers affirme qu'un entier m sélectionné aléatoirement d'une manière brute possède $\tfrac1{\ln m}$ chance d'être premier. Ainsi, si n est un grand entier pair et m, un nombre compris entre 3 et n / 2, alors on peut s'attendre à ce que la probabilité que m et n − m soient tous deux premiers soit égale à $\tfrac1{\ln m \ln (n-m)}$. Cet argument heuristique n'est pas rigoureux pour de nombreuses raisons ; par exemple, on suppose que les évènements que m et n − m soient premiers sont statistiquement indépendants l'un de l'autre. Si l'on poursuit quand même ce raisonnement heuristique, on peut estimer que le nombre total de manières d'écrire un grand nombre entier pair n comme la somme de deux nombres premiers impairs vaut environ

$\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} \frac{1}{\ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.$

Puisque cette quantité tend vers l'infini lorsque n augmente, on peut s'attendre à ce que tout entier pair suffisamment grand non seulement possède au moins une représentation sous forme de somme de deux nombres premiers, mais en fait en possède beaucoup.

L'argument heuristique ci-dessus est en fait quelque peu imprécis, car il ignore certaines corrélations entre les probabilités que m et n − m soient premiers. Par exemple, si m est impair alors n − m aussi, et si m est pair alors n − m aussi, or les nombres premiers sont tous impairs à part 2. De même, si n est divisible par 3, et si m est déjà un nombre premier distinct de 3, alors n − m est aussi premier avec 3 donc sa probabilité d'être premier est légèrement supérieure à celle d'un entier quelconque. En poursuivant ce type d'analyse avec plus de soin, Hardy et Littlewood conjecturèrent en 1923 (c'est une partie de la célèbre conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood) que pour tout c ≥ 2 fixé, le nombre de représentations d'un grand entier n sous la forme de somme de c premiers $n=p_1+ \cdots +p_c$ avec $p_1 \leq \ldots \leq p_c$ devrait être équivalent à

$\left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right) \int\limits_{2 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_c \atop x_1+\ldots+x_c = n} \frac{\mathrm dx_1 \ldots \mathrm dx_{c-1}}{\ln x_1 \ldots \ln x_c}$

où le produit porte sur tous les nombres premiers p, et γ_c,p(n) est le nombre de solutions de l'équation $n\equiv q_1 + \cdots + q_c \mod p$ en arithmétique modulaire, soumise aux contraintes $q_1,\ldots,q_c\not\equiv 0 \mod p$. Cette formule a été rigoureusement démontrée comme étant asymptotiquement valide pour c ≥ 3 à partir du travail de Vinogradov, mais est encore à l'état de conjecture pour c = 2. Dans ce dernier cas, l'expression ci-dessus est nulle lorsque n est impair, et lorsque n est pair elle se simplifie en

$2\Pi_2\left(\prod\limits_{p|n\atop p\ge3}\frac{p-1}{p-2}\right)\int_2^n\frac{\mathrm dx}{\ln^2x}\approx2\Pi_2\left(\prod\limits_{p|n\atop p\ge3}\frac{p-1}{p-2}\right)\frac n{\ln^2n},$

où Π₂ est la constante des nombres premiers jumeaux

$\Pi_2=\prod_{p\ge3}\left(1-\frac1{(p-1)^2}\right)=0,660~161~815~8\ldots.$

Cette formule asymptotique est quelquefois appelée conjecture étendue de Goldbach. La conjecture forte de Goldbach est en fait très similaire à celle des nombres premiers jumeaux, et les deux conjectures sont présumées de difficulté comparable.

État des recherches

La comète de Goldbach (en) est le graphe du nombre de façons d'écrire un entier n pair comme somme de deux nombres premiers (ici, 4 ≤ n ≤ 1 000 000).

Cette conjecture a fait l'objet de recherches par plusieurs théoriciens des nombres et a été vérifiée par ordinateur pour tous les nombres pairs jusqu'à 2.10¹⁸ à la date de novembre 2010.

Nous savons que tout nombre pair peut être écrit comme une somme d'au plus six nombres premiers. Comme conséquence du travail de Vinogradov, nous pouvons affirmer que tout nombre pair suffisamment grand peut être écrit comme la somme d'au plus quatre entiers premiers. Vinogradov a montré de plus que presque tout nombre pair peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (dans le sens que la proportion des nombres pairs qui peuvent s'écrire sous cette forme tend vers 1). En 1966, Chen Jingrun a montré que tout nombre pair suffisamment grand peut être écrit comme somme d'un nombre premier et d'un nombre ayant au plus deux facteurs premiers.

Afin de faire de la publicité pour le livre Uncle Petros and Goldbach's Conjecture de Apostolos Doxiadis, l'éditeur britannique Tony Faber offrit en 2000 un prix de 1 000 000 $ pour une preuve de la conjecture. Le prix ne pouvait être attribué qu'à condition que la preuve soit soumise à publication avant avril 2002. Il n'a jamais été réclamé.

La conjecture de Goldbach est un cas particulier d'une conjecture liée à l'hypothèse H de Schinzel.

Culture

• En 2007, Luis Piedrahita (es) et Rodrigo Sopeña produisent le film espagnol La Cellule de Fermat (es) (La Habitación de Fermat) mettant en scène un jeune mathématicien qui affirme faussement avoir démontré la conjecture et un vieux mathématicien qui, lui, l'aurait démontrée.
• Le roman Oncle Petros et la conjecture de Goldbach [détail des éditions], d'Apostolos Doxiadis, raconte l'histoire fictive d'un mathématicien ayant consacré sa vie professionnelle à la seule conjecture de Goldbach, gaspillant ainsi ses ressources intellectuelles et se mettant lui-même à l'écart de la vie scientifique et de sa famille. Le roman en profite surtout pour fournir un éclairage culturel sur quelques mathématiciens et logiciens du début du siècle (Kurt Gödel, Alan Turing, Srinivasa Ramanujan, Godfrey Harold Hardy …) et les rapports entre leurs différents travaux.
• Le roman Le Théorème du Perroquet, de Denis Guedj, met en scène un mathématicien qui, au fond de l'Amazonie, réussit à démontrer la conjecture de Goldbach. Refusant de la livrer à l'humanité, il se suicide en brûlant ses recherches. Mais avant, il la fait apprendre par son perroquet. Des mafieux veulent s'approprier l'oiseau mais ce dernier reste muet. Excédés, ils l'abattent. Le roman se termine dans la forêt où le perroquet, blessé, récite la démonstration aux autres animaux. Elle demeure ainsi inconnue des hommes.

Liens externes

• Projet de calcul distribué des nombres de Goldbach
• (en) Chris Caldwell, Goldbach's conjecture, sur le site Prime Pages
• (en) Goldbach conjecture verification, site coopératif

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Goldbach's conjecture » (voir la liste des auteurs)