Coefficients De Clebsch-Gordan

Coefficients De Clebsch-Gordan

Coefficients de Clebsch-Gordan

En physique, les coefficients de Clebsch-Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l'étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique. Ils portent le nom des mathématiciens allemands Alfred Clebsch (1833-1872) et Paul Gordan (1837-1912), qui rencontrèrent un problème similaire en théorie des invariants.

En théorie de la représentation, notamment des groupes de Lie compacts, ces coefficients sont utilisés pour effectuer la somme directe du produits tensoriels de deux représentations irréductibles.

On peut définir les coefficients de Clebsch-Gordan associés au groupe SO(3) d'une manière plus directe, comme produit d'harmoniques sphériques. L'addition de spins en mécanique quantique se comprend par cette approche. Dans cet article, on utilisera la notation bra-ket de Dirac.

Sommaire

Notations préliminaires

Opérateurs de moment angulaire

Les opérateurs de moment angulaire sont les opérateurs hermitiens j1,j2 et j3 qui vérifient les relations suivantes :

\left[ j_k,j_l \right] = i h/(2pi)\sum_{m=1}^3 \varepsilon_{klm}j_m \,

avec \varepsilon_{klm} le symbole de Levi-Civita. Ces trois termes peuvent être considérés comme les composantes d'un opérateur vectoriel \mathbf{j}. Le carré de la norme de \mathbf{j} est défini par :

\mathbf{j}^2 = j_1^2+j_2^2+j_3^2

On définit également les opérateurs (j + ) et (j ) par :

j_\pm = j_1 \pm i j_2. \,

États de moment angulaire

On peut montrer que \mathbf{j}^2 commute avec j1,j2 et j3 :

\left[ \mathbf{j}^2, j_k \right] = 0 avec k = 1,2,3.

Lorsque deux opérateurs hermitiens commutent, ils possèdent un ensemble commun de fonctions propres. Par convention, on choisit \mathbf{j}^2 et j3. D'après les relations de commutation, on détermine les valeurs propres :

\begin{alignat}{2} \mathbf{j}^2 |j m\rangle = j\left(j+1\right) |j m\rangle & \;\;\; j=0, 1/2, 1, 3/2, 2, \ldots\\
   j_3|j m\rangle = m |j m\rangle               & \;\;\; m = -j, -j+1, \ldots , j.
\end{alignat}

Les opérateurs (j + ) et (j ) changent la valeur de m :

  j_\pm |jm\rangle = C_\pm \left(j,m\right) |j m\pm 1\rangle

avec

  C_\pm \left(j,m\right) = \sqrt{j\left(j+1\right)-m\left(m\pm 1\right)} = \sqrt{\left(j\mp m\right)\left(j\pm m + 1\right)}.

Un facteur de déphasage (complexe) peut être ajouté à la définition de C_\pm\left(j,m\right). Les états de moment angulaire doivent être orthogonaux — car leurs valeurs propres sont distinctes — et sont supposés normalisés :

  \langle j_1 m_1 | j_2 m_2 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,m_2}.

Définition et propriétés

Définition

Les états de moment angulaire peuvent être développés en les supposant non-couplés :

 |\left(j_1j_2\right)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}  |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle

Les coefficients qui apparaissent dans le développement, notés \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle, sont les coefficients de Clebsch-Gordan.

En appliquant l'opérateur  :

  J_3 = j_3 \otimes 1 + 1 \otimes j_3

des deux côtés de l'égalité, on montre que les coefficients de Clebsch-Gordan peuvent ne pas être nuls seulement lorsque :

M = m_1 + m_2.\,

Relations d'orthogonalité

On peut introduire la notation alternative, mais équivalente, suivante :

  \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle

Il est alors possible d'établir deux relations d'orthogonalité :

  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}  \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle \langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle   = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}
  \sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle   = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}

Propriétés de symétrie

La relation de symétrie suivante est toujours valable :

\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle = \left(-1\right)^{j_1+j_2-J}\langle j_1 {-m_1} j_2 {-m_2}|J {-M}\rangle= \left(-1\right)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M \rangle.

Lien avec les symboles 3—jm

Les coefficients de Clebsch-Gordan sont reliés aux symboles 3-jm, qui sont plus agréables à manipuler du fait de symétries plus simples. Cette relation s'exprime par l'équation suivante :

 \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle =  \left(-1\right)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}.

Voir aussi

Notes et références


Liens externes

Bibliographie

  • C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
  • Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]
  • (en) Edmonds, A. R. : « Angular Momentum in Quantum Mechanics », Princeton University Press (1957). ISBN 0-691-07912-9.
  • (en) Condon, Edward U., Shortley, G. H. : « The Theory of Atomic Spectra », Cambridge University Press (1970). ISBN 0-521-09209-4.
  • (en) Brink, D. M., Satchler, G. R. : Angular Momentum, 3e édition, Clarendon Press (1993), Oxford. ISBN 0-19-851759-9.
  • (en) Zare, Richard N. : Angular Momentum, John Wiley & Sons (1988), New York. ISBN 0-471-85892-7.
  • (en) Biedenharn, L. C., Louck, J. D., Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley (1981), Reading, Massachusetts. ISBN 0-201-13507-8.
  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « Coefficients de Clebsch-Gordan ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Coefficients De Clebsch-Gordan de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Coefficients de clebsch-gordan — En physique, les coefficients de Clebsch Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique. Ils portent le nom des mathématiciens allemands Alfred Clebsch (1833… …   Wikipédia en Français

  • Coefficients de Clebsch-Gordan — En physique, les coefficients de Clebsch Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique. Ils portent le nom des mathématiciens allemands Alfred Clebsch (1833… …   Wikipédia en Français

  • Clebsch–Gordan coefficients — In physics, the Clebsch–Gordan coefficients are sets of numbers that arise in angular momentum coupling under the laws of quantum mechanics. In more mathematical terms, the CG coefficients are used in representation theory, particularly of… …   Wikipedia

  • Clebsch-Gordan coefficients — In physics, the Clebsch Gordan coefficients are sets of numbers that arise in angular momentum coupling under the laws of quantum mechanics. In more mathematical terms, the CG coefficients are used in representation theory, particularly of… …   Wikipedia

  • Clebsch-Gordan-Koeffizient — Die Clebsch Gordan Koeffizienten finden ihre Verwendung in der Kopplung quantenmechanischer Drehimpulse. Es handelt sich dabei um Entwicklungskoeffizienten, mit denen man aus der Basis der Einzeldrehimpulse in die Basis des Gesamtdrehimpulses… …   Deutsch Wikipedia

  • Table of Clebsch-Gordan coefficients — This is a table of Clebsch Gordan coefficients used for adding angular momentum values in quantum mechanics. The overall sign of the coefficients for each set of constant j 1, j 2, j is arbitrary to some degree and has been fixed according to the …   Wikipedia

  • Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan — Para ver su formulación y definición formal vea coeficientes Clebsch Gordan. Esta es una tabla de coeficientes de Clebsch Gordan usada para sumar momentos angulares en mecánica cuántica. El signo global de los coeficientes para cada conjunto de… …   Wikipedia Español

  • Alfred Clebsch — Alfred Clebsch, théoricien de l élasticité mathématique et spécialiste de géométrie différentielle (1833 1872) Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (né le 19 janvier 1833 à Königsberg; † le 7 novembre 1872 à Göttingen) est un mathématicien prussien,… …   Wikipédia en Français

  • Alfred Clebsch — Rudolf Friedrich Alfred Clebsch Born 19 January 1833( …   Wikipedia

  • Paul Albert Gordan — (27 April 1837 ndash; 21 December 1912) was a German mathematician, a student of Carl Jacobi at the University of Königsberg before obtaining his Ph.D. at the University of Breslau (1862),MacTutor Biography|id=Gordan.] and a professor at the… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”