Catégorie des groupes


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Groupe (mathématiques)

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Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne une introduction au concept de groupe. Pour un approfondissement, voir théorie des groupes.
Les manipulations possibles du cube de Rubik forment un groupe.

Un groupe est, en mathématiques, un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne (ou opération). Cet ensemble et cette opération forment un groupe lorsque l'opération est associative, admet un élément neutre et lorsque chaque élément de l'ensemble admet un inverse relativement à cette loi. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers, munis de la loi d'addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes.

La structure de groupe possède un lien étroit avec la notion de symétrie[1]. Un groupe de symétrie décrit les symétries d'une forme géométrique : il consiste en un ensemble de transformations géométriques qui laissent l'objet invariant, l'opération consistant à composer de telles transformations, c'est-à-dire à les appliquer l'une après l'autre. De tels groupes de symétrie, en particulier les groupes de Lie continus, jouent un rôle important dans de nombreuses sciences[2]. Les groupes généraux linéaires, par exemple, sont utilisés en physique fondamentale pour comprendre les lois de la relativité restreinte et les phénomènes liés à la symétrie des molécules en chimie.

Le concept de groupe est né de l'étude des équations polynomiales par Évariste Galois dans les années 1830. Après des apports dans d'autres domaines comme la théorie des nombres et la géométrie, la notion de groupe a été généralisée et fermement établie vers 1870. La théorie des groupes moderne — une branche très active des mathématiques — étudie les groupes pour eux-mêmes. Pour explorer les groupes, les mathématiciens ont élaboré différentes notions afin de casser les groupes en morceaux plus petits, plus compréhensibles, comme les sous-groupes, groupes quotients et groupes simples. En plus de leurs propriétés abstraites, les spécialistes de la théorie des groupes étudient les différentes manières de les exprimer concrètement (ce qu'on appelle une représentation de groupe), que ce soit d'un point de vue théorique ou calculatoire. Une théorie particulièrement riche a été développée pour les groupes qui possèdent un nombre fini d'éléments, qui a culminé avec la classification des groupes simples finis, achevée en 1983. Depuis le milieu des années 1980, la théorie géométrique des groupes, qui étudie les groupes de type fini en tant qu'objets géométriques, est devenu un domaine particulièrement actif de la théorie des groupes.

Sommaire

Définition et illustration

Premier exemple : les entiers

Un des groupes les plus communs est l'ensemble des nombres entiers Z, qui est constitué des nombres

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Les propriétés suivantes de l'addition usuelle servent de modèle pour les axiomes de la définition générale donnée plus bas.

  1. Pour deux entiers quelconques a et b, la somme a+b est aussi un entier. En d'autres termes, le fait d'additionner deux entiers ne peut jamais mener à un résultat non entier. On dit que l'addition est une loi de composition interne.
  2. Pour tous entiers a, b et c, (a + b) + c = a + (b + c). Littéralement, additionner d'abord a et b, puis ajouter c au résultat donne le même résultat final qu'ajouter a à la somme de b et c. Cette propriété est nommée associativité.
  3. Si a est un entier, alors 0 + a = a + 0 = a. Zéro est ce qu'on appelle un élément neutre pour l'addition, parce qu'ajouter 0 à tout entier renvoie cet entier.
  4. Pour tout entier a, il existe un entier b tel que a + b = b + a = 0. L'entier b est appelé l'élément inverse de l'entier a et est noté —a (pour l'addition, on dit aussi opposé).

Définition

Les entiers, munis de l'opération "+", forment un objet mathématique qui appartient à une vaste classe d'objets partageant des similarités de structure. La définition formelle suivante, qui englobe l'exemple précédent et beaucoup d'autres, dont les groupes de symétries détaillés plus bas, permet de comprendre ces structures sans traiter chaque cas séparément.

Un groupe est un ensemble G muni d'une opération (ou loi de composition) "•" qui, à deux éléments a et b de G, associe un autre élément ab. Le symbole "•" est un signe général qui désigne une opération donnée, comme l'addition ci-dessus. Pour être un groupe, le couple ensemble-opération (G, •) doit satisfaire quatre axiomes.

Loi de composition interne

Pour tous a et b éléments de G, le résultat ab est aussi dans G.

Associativité

Pour tous éléments a, b et c de G, l'égalité (ab) • c = a • (bc) est vraie.

Élément neutre

Il existe un élément e de G tel que, pour tout a dans G, ea = ae = a. e est appelé élément neutre du groupe (G, •).

Inverse

Pour tout élément a de G, il existe b dans G tel que ab = ba = e, où e est l'élément neutre. b est appelé inverse de a.

L'ordre dans lequel l'opération est effectuée peut être important. Autrement dit, le résultat de la combinaison d'un élément a avec un élément b peut ne pas être le même que celui de la combinaison de b avec a ; l'égalité

ab = ba

n'est pas toujours vraie. Un groupe dans lequel on a toujours ab = ba est dit commutatif, ou abélien (en l'honneur de Niels Abel). Ainsi, le groupe additif des nombres entiers est abélien mais le groupe de symétrie décrit ci-dessous ne l'est pas.

Deuxième exemple : un groupe de symétrie

Les symétries (c'est-à-dire les rotations et réflexions) d'un carré forment un groupe appelé groupe diédral et noté D4. En voici la liste :

Group D8 id.svg
id (identité : chaque point est conservé)
Group D8 90.svg
r1 (rotation de 90° vers la droite)
Group D8 180.svg
r2 (rotation de 180°)
Group D8 270.svg
r3 (rotation de 270° vers la droite)
Group D8 fv.svg
fv (retournement vertical)
Group D8 fh.svg
fh (retournement horizontal)
Group D8 f13.svg
fd (retournement suivant la première diagonale)
Group D8 f24.svg
fc (retournement suivant la deuxième diagonale)
Les éléments du groupe de symétrie (D4). Les sommets sont colorés et numérotés uniquement pour visualiser les transformations.
  • l'application identité, laissant tout inchangé, est notée id ;
  • les rotations de 90° , 180° et 270° vers la droite, notées respectivement r1, r2 et r3. Le centre de toutes ces rotations est le point d'intersection des diagonales du carré ;
  • les réflexions ayant pour axes les médiatrices des côtés du carré (fh and fv) ou ses diagonales (fd and fc).

Deux symétries quelconques peuvent être composées ; c'est-à-dire appliquées l'une après l'autre. Le résultat obtenu en exerçant a puis b est écrit symboliquement

ba (« appliquer la symétrie b après avoir appliqué a. » L'écriture de droite à gauche utilisée ici provient de la composition de fonctions.)

Le groupe D4 est décrit par la table de Cayley ci-contre. Il s'agit d'un tableau analogue aux tables de multiplications des écoliers. Ainsi, à l'intersection de la ligne fh et de la colonne r3 se trouve fd (case coloriée en bleu). Cela signifie que fh • r3 = fd. Autrement dit, appliquer au carré une rotation d'angle 270° vers la droite (r3) puis un retournement horizontal (fh) revient à lui appliquer un retournement suivant la première diagonale (fd).

Table de Cayley de D4
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
Les éléments id, r1, r2, et r3 forment un sous-groupe, colorié en rouge (en haut à gauche). Deux classes à gauche et à droite suivant ce sous-groupe sont en vert (dernière ligne) et jaune (dernière colonne), respectivement.

Étant donnés cet ensemble de symétrie et l'opération décrite ci-dessus, les axiomes de groupes peuvent être compris ainsi :

  1. L'opération doit être une loi de composition interne  : pour toutes symétries a et b, ba doit aussi une symétrie du carré. Par exemple r3 • fh = fc
    c'est-à-dire que faire pivoter le carré de 270° vers la droite après l'avoir retourné horizontalement revient à l'avoir retourné suivant la deuxième diagonale (fc). Toutes les combinaisons de deux symétries donnent une symétrie, comme en atteste la table de Cayley ci-contre.
  2. L'hypothèse d'associativité traite de la composition de plus de deux symétries : soient trois éléments a, b et c de D4, il existe deux façons possibles de calculer "a puis b puis c". La condition
    a • (bc) = (ab) • c
    signifie que la composition de trois éléments est indépendante de l'ordre de priorité des opérations. Cela peut aussi être vérifié en examinant la table de Cayley ci-contre. Par exemple, on peut remarquer que
    (fd • fv) • r2 = r3 • r2 = r1
    est égal à
    fd • (fv • r2) = fd • fh = r1
  3. L'élément neutre est la symétrie notée id, qui laisse tout invariant. Quelle que soit la symétrie a, composer a et id revient à appliquer a :
    id • a = a,
    a • id = a.
  4. Un élément inverse est la transformation réciproque d'une symétrie donnée. Chaque symétrie peut être "défaite". Chacune des transformations id, fh, fv, fd, fc et la rotation à 180° r2 est sa propre inverse, ce qui revient à dire qu'appliquer deux fois une de ces transformations revient à laisser le carré invariant. Les rotations r3 et r1 sont inverses l'une de l'autre. Formellement, on écrit :
    fh • fh = id,
    r3 • r1 = r1 • r3 = id.

Au contraire du groupe des entiers déjà cité, l'ordre dans lequel sont effectuées les opérations est important, dans D4 : fh • r1 = fc mais r1 • fh = fd.. On dit que D4 n'est pas commutatif. On voit ici que la sctructure de groupe est plus délicate que le premier exemple sur les entiers pouvait laisser supposer.

Histoire

Le concept moderne et abstrait de groupe se développa à travers différents champs des mathématiques.

La motivation originelle de la théorie des groupes fut la recherche des solutions des équations polynomiales de degré supérieur à quatre. Au XIXe siècle, le mathématicien français Évariste Galois, développant des travaux précédents de Paolo Ruffini et Joseph-Louis Lagrange, donna un critère de résolubilité d'équations polynomiales particulières en termes de groupe de symétrie de leurs racines[3]. Les éléments d'un tel groupe (appelé groupe de Galois) correspondent à certaines permutations des racines. Les idées de Galois furent méconnues par ses contemporains et publiées seulement à titre posthume. Des groupes de permutations plus généraux furent étudiés par Augustin Louis Cauchy[3]. Arthur Cayley, dans un article de 1854, donna la première définition abstraite d'un groupe fini.

La géométrie fut le second domaine dans lequel les groupes furent systématiquement utilisés, en particulier dans le programme d'Erlangen de Felix Klein, en 1872[3]. Après que de nouvelles géométries, comme la géométrie hyperbolique et la géométrie projective, eurent émergé, Klein utilisa la théorie des groupes pour les organiser en un système cohérent. En prolongeant ces idées, Sophus Lie posa les fondations de l'étude des groupes de Lie en 1884.

Le troisième domaine qui contribua à la théorie des groupes fut la théorie des nombres. Certaines structures de groupe abélien ont été implicitement utilisées par Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones Arithmeticae (1798), et plus explicitement par Leopold Kronecker. En 1847, Ernst Kummer mena les premières tentatives de preuve du dernier théorème de Fermat à leur point culminant en développant une factorisation des groupes en nombres premiers.

La convergence de ces différentes sources en une théorie des groupes uniforme commença avec le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Walther von Dyck (1882) donna le premier énoncé moderne de la définition d'un groupe abstrait. Durant le XXe siècle, les groupes gagnèrent une grande reconnaissance avec les travaux de Ferdinand Georg Frobenius et William Burnside, qui travaillèrent sur la théorie de la représentation des groupes finis, la théorie des représentations modulaires de Richard Brauer et les articles de Issai Schur. La théorie des groupes de Lie, et plus généralement des groupes localement compacts fut développée par Hermann Weyl, Élie Cartan et beaucoup d'autres. Son aspect algébrique, la théorie des groupes algébriques, fut tout d'abord formée par Claude Chevalley, à la fin des années 1930, puis par le travail essentiel d'Armand Borel et Jacques Tits.

En 1960-61, l'Année de la théorie des groupes de l'Université de Chicago rassembla de nombreux spécialiste comme Daniel Gorenstein, John G. Thompson et Walter Feit et jeta les bases d'une collaboration qui, avec l'apport de nombreux autres mathématiciens, aboutit à la classification des groupes simples finis en 1982. Ce projet dépassa les efforts précédents par son ampleur, tant au niveau de la longueur de la preuve que du nombre de chercheurs impliqués. La recherche continue pour simplifier la démonstration de cette classification. De nos jours, la théorie des groupes reste un branche très active des mathématiques avec un fort impact sur les autres domaines.

Conséquences élémentaires de la définition

Quelques conséquences élémentaires peuvent être tirées de l'étude de la définition.

Plus de deux éléments

L'axiome d'associativité permet de définir l'opération sur trois éléments et non plus deux, en "levant" les parenthèses. En effet, quels que soient les éléments a, b et c du groupe, il est possible de définir abc sans ambigüité :

abc = (ab) • c = a • (bc).

Puisque les parenthèses peuvent être écrites n'importe où dans une série de plusieurs termes, il est d'usage de les omettre.

Affaiblissement des axiomes

Les axiomes peuvent a priori être affaiblis, en ne considérant par exemple que l'inverse et l'élément neutre à gauche. Si on remplace les deux derniers axiomes de la définition ci-dessus par

Élément neutre à gauche

Il existe un élément e de G tel que, pour tout a dans G, ea = a.

Inverse à gauche

Pour tout élément a de G, il existe b dans G tel que ba = e, où e est l'élément neutre.

La nouvelle définition, apparemment plus générale que la précédente, est en fait équivalente.

Unicité de l'élément neutre et des inverses

Il y a unicité de l'élément neutre et, pour chaque élément a du groupe, de l'inverse de a. Cela signifie qu'un groupe possède exactement un élément neutre et que chaque élément du groupe possède un et un seul inverse. L'emploi de l'article défini est donc correct : on parle de « l'inverse » d'un élément et de « l'élément neutre » du groupe.

Concepts essentiels

Article connexe : Lexique des groupes.

Pour comprendre les groupes au-delà des manipulations symboliques présentées ci-dessus, d'autres concepts doivent être employés. Ils suivent tous un principe sous-jacent : pour bénéficier de la structure de groupe, les constructions liées à un groupe doivent être "compatibles" avec sa loi de composition. Cette compatibilité se manifeste de différentes façons. Par exemple, des groupes peuvent être reliés entre eux par des fonctions appelées homomorphismes de groupe, c'est-à-dire des fonctions qui conservent la structure de groupe. La structure des groupes peut aussi être étudiée en les "cassant" en morceaux plus simples, appelés sous-groupes ou groupes quotients[4]. Ce principe de conservation des structures est l'idée centrale de la théorie des catégories, dans laquelle on parle de catégorie des groupes.

Homomorphisme de groupe

Article détaillé : Homomorphisme de groupe.

Les homomorphismes de groupes sont les fonctions qui préservent la structure de groupe. Une fonction f : GH entre deux groupes munis respectivement de deux lois • et * est un homomorphisme si l'égalité

f(ab) = f(a) * f(b).

est vraie pour tous les éléments a et b de G, c'est-à-dire que le résultat est le même, que l'on effectue l'opération avant ou après avoir appliqué la fonction f.

Cette condition assure que l'image de l'inverse de tout élément a est l'inverse de l'image de a. En notant a—1 l'inverse d'un élément a, cela donne :

f(a—1) = f(a)—1

et que l'image de l'élément neutre du groupe (G ; •) est l'élément neutre de (H ; *).

Ainsi l'image d'un homomorphisme de groupe respecte les axiomes de groupe.

Deux groupes G et H sont dits isomorphes s'il existe deux homomorphismes de groupes f : GH et g : HG tels que la composée de ces deux fonctions, quel que soit l'ordre, donne l'identité. C'est-à-dire que, quels que soient a élément de G et b de H,

f(g(a)) = a et
g(h(b)) = b.

Du point de vue de la structure de groupe, G et H sont en quelque sorte "le même groupe".

Sous-groupe

Le treillis des sous-groupes de D4, représenté sous forme de diagramme de Hasse.
Article détaillé : Sous-groupe.

Intuitivement, un sous-groupe est un groupe H inclus dans un autre groupe G. Cela signifie que l'élément neutre de G est contenu dans H et, quels que soient h1 et h2 éléments de H, h1h2 et h1−1 appartiennent aussi à H.

Dans l'exemple du groupe D4 ci-dessus, l'identité et les rotations forment un sous-groupe R = {id, r1, r2, r3} coloré en rouge dans le tableau : la composée de deux rotations est une rotation et chaque rotation a pour inverse une rotation, celle telle que la somme des angles des deux rotations est 360° (un tour complet).

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un sous-ensemble H d'un groupe G soit un sous-groupe de G est que, quels que soient les éléments a et b de H :

a−1bH.

La connaissance du treillis des sous-groupes d'un groupe donné est importante pour la compréhension de ce groupe.

Étant donné un sous-ensemble S d'un groupe G, le sous-groupe engendré par S est constitué par tous les produits des éléments de S avec des inverses de ces éléments, l'opération pouvant être répétée plusieurs fois. C'est le plus petit sous-groupe contenant S. Dans l'exemple D4, le sous-groupe engendré par r2 et fv est constitué de ces deux éléments, de l'identité et de fh = fv • r2. C'est un sous-groupe, car combiner deux éléments, ou leurs inverses donne un élément de cet ensemble. On peut également remarquer que le groupe (Z ; +) des entiers relatifs est engendré par le seul élément 1 : on peut obtenir n'importe quel entier en ajoutant 1 avec lui même ou avec son opposé —1. On dit que Z est monogène. Le sous-groupe de Z engendré par 2 est constitué des nombres pairs (noté 2Z), celui qui est engendré par 3 est le sous-groupe des multiples de 3 (noté 3Z), etc.

Classe suivant un sous-groupe

Article détaillé : Classe suivant un sous-groupe.

Dans de nombreuses situations, il est souhaitable de considérer que deux éléments d'un groupe sont les mêmes s'il diffèrent d'un élément d'un sous-groupe donné.

Par exemple, dans D4, une fois qu'un retournement a été effectué, le carré ne peut jamais revenir à la position de r2 par application de rotations, sans autre retournement. Il est possible de classer les figures du carré données dans l'exemple ci-dessus suivant deux parties : celle qui rassemble les figures pour lesquelles la suite des sommets 1-2-3-4 est parcourue dans le sens des aiguilles d'une montre, et celle des figures où 1-2-3-4 est parcouru dans l'autre sens. Il est possible de passer d'une figure d'une de ces parties à une autre par un retournement, mais aucune rotation ne permet de passer d'un carré de type « 1-2-3-4 dans le sens des aiguilles d'une montre » à un carré de l'autre type. Ainsi, deux figures du même type diffèrent d'une rotation.

La notion de classe suivant un sous-groupe formalise ceci : un sous-groupe H définit une classe à gauche et une classe à droite, qui peuvent être vues comme des translations de H par des éléments arbitraires g du groupe. Les classe à gauche et classe à droite suivant H contenant g sont respectivement

gH = {gh, hH} et Hg = {hg, hH},

c'est-à-dire les ensembles constitués de tous les éléments de la forme gh (classe à gauche) et de la forme hg (classe à droite), où h est un élément de H.

Les classes suivant un sous-groupe H forment une partition de G, c'est-à-dire que la réunion de toutes les classes à gauche est égale à G et l'intersection de deux classes à gauche différentes est vide.

L'égalité g1H = g2H a lieu si et seulement si g1−1g2H, c'est-à-dire lorsque g1 et g2 diffèrent d'un élément de H. De même pour les classes à droite suivant H. Les classes à gauche et à droite suivant H peuvent être égales, mais ce n'est pas le cas en général. Si, pour tout élément g de G, gH = Hg, alors H est un sous-groupe normal (ou distingué) de G.

Dans D4, les classes à gauche gR relatives au sous-groupe R constitué par les rotations sont : soit R si g est une rotation, soit l'ensemble U = fvR = {fv, fd, fh, fc} colorié en vert sur la table de Cayley donnée plus haut. Le sous-groupe R est distingué car les classes à gauche et à droite sont égales : fvR = U = Rfv, par exemple, cette égalité étant aussi vraie pour tous les éléments autres que fv.

Dans Z, le sous groupe 2Z des nombres pairs définit deux classes : celle des nombres pairs et celle des nombres impairs. Les classes à gauche et à droite dans Z sont toujours égales car ce groupe est commutatif.

Groupe quotient

Article détaillé : Groupe quotient.

Lorsqu'un sous-groupe est distingué, l'ensemble des classes qu'il définit forme également un groupe, appelé groupe quotient de G par N et noté G / N.

G / N = {gN, gG}

L'opération de ce nouveau groupe est induite par celle de G :

(gN) • (hN) = (gh)N

pour tous éléments g et h de G. Cette étude est motivée par l'idée que l'application GG / N qui, à tout élément g du groupe associée sa classe gN, est un homomorphisme de groupe. La classe eN = N est l'élément neutre du groupe quotient et l'inverse de gN est (gN)−1 = (g−1)N.

R U
R R U
U U R
Table du groupe quotient D4 / R.

Les éléments du goupe quotient D4 / R sont R lui-même, qui repésente l'élément neutre, et U = fvR. La loi de groupe de ce quotient est représentée dans le tableau ci-contre. Par exemple, UU = fvR • fvR = (fv • fv)R = R. Le sous-groupe R = {id, r1, r2, r3} et le groupe quotient correspondant sont tous les deux commutatifs, alors que D4 ne l'est pas. L'idée de construire de grands groupes à partir d'autres plus petits est formalisée par la notion de produit semi-direct.

Graphe de Cayley du groupe D4, où α désigne une rotation et β un retournement.

Le quotient et les sous-groupes permettent de décrire tout groupe par sa présentation : chaque groupe est le quotient du groupe libre sur l'ensemble de ses générateurs, quotienté par le sous-groupe des relations. Le groupe dihédral D4, par exemple, peut-être engendré par deux éléments r et f, où r est une rotation et f un retournement quelconques par exemple r1 (rotation d'angle droit) et fv (retournement vertical). Cela signifie que toute symétrie du carré est une composition finie de ses deux symétries et de leurs inverses. Ceci, avec les relations

r 4 = f 2 = (rf)2 = 1,

décrit complètement le groupe. Une présentation d'un groupe peut aussi servir à construire le graphe de Cayley, un outil utilisé pour représenter graphiquement les groupes discrets.

Les sous-groupes et groupes quotients sont liés par la relation suivante : un sous-ensemble H de G peut être vu comme une injection HG, c'est-à-dire que chaque élément de G possède au plus un antécédent par cette fonction. La notion d'application injective est liée avec celle d'application surjective (une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent). L'application canonique GG / N est surjective. Les théorèmes d'isomorphisme permettent d'exhiber des homomorphismes injectifs, surjectifs et bijectifs « naturels » d'un groupe afin de comprendre sa structure.

Exemples et applications

Il existe 17 types de pavages réguliers du plan. Cela se démontre grâce aux groupes.
Il existe 17 types de pavages réguliers du plan. Cela se démontre grâce aux groupes.
 
Le groupe fondamental d'un plan privé d'un point (en gras) est constitué des boucles autour de ce point. Ce groupe est isomorphe à celui des entiers.
Le groupe fondamental d'un plan privé d'un point (en gras) est constitué des boucles autour de ce point. Ce groupe est isomorphe à celui des entiers.

Les exemples et applications des groupes abondent. Un point de départ est le groupe Z des entiers avec l'addition comme loi, donné en introduction de l'article. Si au lieu de l'addition on considère la multiplication, on obtient des groupes multiplicatifs. Ces groupes sont les prédécesseurs d'importantes constructions en algèbre générale.

Les groupes sont aussi appliqués dans de nombreux autres domaines des mathématiques. Les objets mathématiques sont souvent examinés en leur associant des groupes et en étudiant les propriétés des groupes correspondants. Par exemple, Henri Poincaré a fondé ce qui est maintenant appelé la topologie algébrique en introduisant le groupe fondamental. De part cette connexion, des propriétés topologiques comme les voisinages et la continuité se traduisent en propriétés de groupes. Par exemple, les éléments du groupe fondamental sont représentés par des boucles. La deuxième image à droite montre quelques boucles dans un plan privé d'un point. La boucle bleue est considérée comme nulle et donc sans intérêt, car elle peut être continument (c'est-à-dire sans être « cassée ») déformée en un point. La présence d'un trou empêche la boucle orange d'être continument déformée en un point. Le groupe fondamental du plan dont un point a été ôté s'avère donc infini et cyclique, engendré par la boucle orange (ou toute autre boucle faisant un tour autour du trou).

Dans des applications plus récentes, l'influence a été inversée pour motiver les constructions géométriques par un arrière-plan de théorie des groupes. Dans le même idée, la théorie géométrique des groupes emploie des concepts géométriques, par exemple dans l'étude des groupes hyperboliques. D'autres branches appliquant les groupes de manière cruciale incluent la géométrie algébrique et la théorie des nombres.

En plus des applications théoriques précédentes, de nombreuses applications pratiques des groupes existent. La cryptographie repose sur la combinaison de la théorie des groupes avec le savoir algorithmique obtenu par la théorie algorithmique des groupes, en particulier l'implémentation dans les groupes finis. Les applications de la théorie des groupes ne sont pas restreintes aux mathématiques, des sciences comme la physique, la chimie et l'informatique bénéficient de ce concept.

Nombres

De nombreux systèmes numériques, comme les nombres entiers et rationnels, bénéficient naturellement d'une structure de groupe. Dans certains cas, l'addition et la multiplication donnent chacune lieu à une structure de groupe. Ces considérations ont donné naissance à des structures algébriques plus générales : les anneaux et les corps.

Entiers

Les groupe des nombres entiers Z muni de l'addition, noté (Z, +), a été décrit plus haut. L'ensemble des nombres entiers, muni de la multiplication (Z, ×), ne forme pas un groupe. La loi est bien interne, associative, et il existe un élément neutre (le nombre 1), mais pas d'inverse en général : par exemple, l'équation 2 · b = 1 n'admet pas de solution dans Z. L'inverse de 2 serait 12, qui n'est pas entier, mais rationnel.

Rationnels

Articles détaillés : Nombre rationnel et Fraction (mathématiques).

Le besoin d'inverses des nombres entiers amène à considérer les fractions : ab, où a et b sont deux entiers, b étant différent de zéro. Ces fractions d'entiers sont appelées nombres rationnels et l'ensemble qu'elles constituent est noté Q.

L'ensemble des rationnels muni de la multiplication, (Q, ·), ne constitue pas un groupe, car le nombre 0 ne possède pas d'inverse pour la multiplication (il n'existe aucun nombre rationnel x tel que x · 0 = 1).

Cependant, l'ensemble des nombres rationnels non nuls : Q \ {0} = {qQ, q ≠ 0}, muni de la multiplication, forme un groupe noté (Q \ {0}, ·).

L'ensemble des nombres rationnels (y compris zéro) forme aussi un groupe lorsqu'il est muni de l'addition. L'entrelacement de l'addition et de la multiplication produit une nouvelle structure plus complexe que celle de groupe : les anneaux (comme, par exemple, Z) et, si la division est possible (comme avec Q), les corps.

Entiers non nuls, modulo un nombre premier

Article détaillé : Arithmétique modulaire.
× 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
Table de multiplication de Z/5Z privé de 0.

L'ensemble des classes du groupe quotient de (Z, +) par son sous-groupe pZ engendré par un entier p, noté Z/pZ est particulièrement intéressant lorsque p est un nombre premier.

Pour tout nombre premier p, Z/pZ, muni cette fois de la multiplication (et privé de zéro), est un groupe. Ses éléments sont les entiers non divisibles par p, considérés modulo p, c'est-à-dire que chaque nombre est assimilé au reste de sa division euclidienne par p : deux éléments sont considérés comme équivalents lorsque leur différence est un multiple de p.

Par exemple, si p = 5, il y a exactement 4 éléments : 1 ; 2 ; 3 et 4. Les multiples de 5 sont exclus. 6 et −4 sont considérés comme équivalents à 1. Le produit 4 · 4 = 1 puisque le produit usuel 16 est équivalent à 1, car 5 divise 16 − 1 = 15. On note 16 ≡ 1 (mod 5).

La primalité de p assure que le produit de deux entiers non divisibles par p n'est pas divisible par p, donc la multiplication sur l'ensemble de classes considérés est une loi de composition interne. L'élément neutre est 1 et l'associativité provient de la propriété correspondante sur les entiers relatifs. Enfin, le dernier axiome de groupe nécessite que, pour chaque élément a non divisible par p, il existe un entier b non divisible par p tel que :

a · b ≡ 1 (mod p), c'est-à-dire p divise la différence a · b − 1.

L'inverse b peut être déterminé en utilisant le théorème de Bachet-Bézout et le fait que le PGCD de a et p est 1. Dans le cas p = 5 ci-dessus, l'inverse de 4 est 4 et l'inverse de 3 est 2, car 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Ainsi, les axiomes de groupes sont vérifiés. En fait, cet exemple est similaire à (Q\{0}, ·), car il montre que l'ensemble des éléments non nuls, muni de la multiplication, est un groupe, ce qui, conjointement au groupe additif, donne un corps noté Fp. Ces groupes sont cruciaux pour la cryptographie à clé publique.

Groupes cycliques

Articles détaillés : Groupe cyclique et Groupe abélien.
Les racines sixièmes complexes de l'unité forment un groupe cyclique. z est un générateur, mais pas z2, car les puissances impaires de z ne sont pas des puissances de z2.

Un groupe cyclique est un groupe dont tous les éléments sont des puissances (quand le groupe est noté additivement, le terme multiple est utilisé) d'un certain élément a. En notation multiplicative, les éléments du groupe sont :

..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,

a2 signifie aa, et a−3 désigne a−1a−1a−1=(aaa)−1 etc. Un tel élément a est un générateur, ou élément primitif du groupe.

Un exemple typique est celui des racines ne de l'unité, qui sont les nombres complexes z tels que zn = 1, muni de la multiplication (n désignant un nombre entier strictement positif). Tout groupe cyclique contenant n éléments est isomorphe à ce groupe. La théorie des corps montre que le groupe (Fp,×) est cyclique : pour p = 5, par exemple, 3 est un générateur car 31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2 et 34 ≡ 1. Tout groupe cyclique infini est isomorphe au groupe des entiers relatifs (Z, +). Comme ces deux prototypes sont abéliens, tout groupe cyclique est abélien.

Groupes de symétries

Article détaillé : Groupe de symétrie.
Articles connexes : Groupe d'espace et Symétrie (physique).

Les groupes de symétries sont constitués des symétries d'objets mathématiques donnés, que ces objets soient de nature géométrique, comme le groupe des symétries du carré vu en introduction, ou de nature algébrique, comme les équations polynomiales et leus solutions. D'un point de vue conceptuel, la théorie des groupes peut être pensée comme l'étude de la symétrie. Les symétries simplifient grandement l'étude des objets géométriques ou analytiques. On dit qu'un groupe opère sur un objet X si chaque élément du groupe réalise une opération sur X compatible avec la loi du groupe. Par exemple, le groupe diédral D4 opère sur le carré.

Rotations et retournements du groupe de symétries d'un grand icosaèdre.

En chimie, notamment en cristallographie[5], les groupes d'espaces et groupes ponctuels de symétrie décrivent des symétries moléculaires et les symétries de cristaux. Ces symétries sous-tendent le comportement chimique et physique de ces systèmes et la théorie des groupes permet la simplification de l'analyse quantique de ces propriétés. Par exemple, la théorie des groupes est utilisés pour montrer que des transitions d'atoms entre certains niveaux quantiques ne peuvent pas se produire à cause de la symétrie des niveaux[5].

Les groupes ne sont pas seulement utiles pour estimer les implications des symétries dans les molécules, mais il prédisent aussi, de façon surprenante, que les molécules peuvent parfois changer de symétrie. L’effet Jahn-Teller, connu aussi en tant que « distorsion Jahn-Teller », décrit la distorsion de la géométrie des molécules non-linéaires dans certaines situations. Historiquement, cet effet a été proposé dans un théorème publié en 1937 par Hermann Arthur Jahn et Edward Teller, dans lequel ils démontrent que toute molécule non-linéaire possédant un niveau électronique fondamental dégénéré subira une distorsion géométrique qui lèvera cette dégénérescence, ce qui aura pour effet de diminuer l’énergie totale de la molécule.

De même, la théorie des groupes aide à prévoir les changements dans les propriétés physiques qui se produisent quand un matériau subit une transition de phase, par exemple, d'une forme cristalline cubique en une forme tétraédrique. Ainsi les matériaux ferroélectriques, dans lesquels le changement d'une phase paraélectrique à une phase ferroélectrique se produit à la température de Curie et est lié à un changement de l'état hautement symétrique paraélectrique à un état ferroélectrique de moindre symétrie, accompagné d'un mode appelé phonon, c'est-à-dire un « paquet élémentaire de vibration » qui s'étend de la fréquence zéro à la transition.

Une telle brisure spontanée de symétrie a trouvé une application en physique des particules élémentaires, où son apparition est reliée à l'apparition de bosons de Goldstone.

C60a.png Ammonia-3D-balls-A.png Cubane-3D-balls.png Hexaaquacopper(II)-3D-balls.png Uniform tiling 73-t2 colored.png
Le Buckminsterfullerène possède une
symétrie icosaédrique.
L'ammoniac, NH3. Son groupe de symétries est d'ordre 6, engendré par une rotation de 120° et une réflexion. Le Cubane C8H8 est caractérisé par
une symétrie octaédrique.
L'ion complexe Hexaaquacopper(II), [Cu(OH2)6]2+. Comparé à une forme parfaitement symétrique, la molécule est dilatée verticalement d'environ 22% (effet Jahn-Teller). Le groupe de triangle (2,3,7), un groupe hyperbolique, opère sur ce pavage du plan hyperbolique.

Les groupes de symétries finis comme le groupe de Mathieu sont utilisés en théorie des codes, qui est à son tour appliquée à la correction préventive d'erreurs de données transmises et dans les lecteurs de CD. Une autre application est la théorie de Galois différentielle, qui caractérise les fonctions possédant des primitives d'une certaine forme, ce qui donne des critères de théorie des groupes pour déterminer quand certaines équations différentielles se comportent bien. Les propriétés géométriques qui restent stables par une action de groupe sont étudiées en théorie géométrique des invariants.

Groupe général linéaire et théorie de la représentation

Deux vecteurs (illustration de gauche) multipliés par des matrices (illustrations du milieu et de droite). L'illustration centrale représente une rotation de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, alors que celle de droite consiste à étirer l'abscisse en la multipliant par 2.

Un groupe de matrices est constitué de matrices et muni de la multiplication matricielle. Le groupe général linéaire GL(n,R) contient toutes les matrices inversibles à n lignes et n colonnes et coefficients réels. Le groupe diédral mentionné ci-dessus peut être vu comme un très petit groupe de matrices. Un autre groupe de matrices très important est le groupe spécial orthogonal SO(n). Il décrit toutes les rotations possibles à n dimensions. Via les angles d'Euler, les matrices de rotation sont utilisées en infographie pour la synthèse d'images.

La théorie de la représentation est à la fois une application du concept de groupe et important pour une compréhension plus profonde de ce concept. Elle consiste à étudier un groupe par son action sur d'autres espaces. Une grande catégorie de représentations de groupes est celle des représentations linéaires, lorsque le groupe opère sur un espace vectoriel comme par exemple l'espace euclidien à trois dimensions. Une représentation d'un groupe G sur un espace vectoriel réel à n dimensions est simplement un homomorphisme de groupes

ρ: GGL(n, R)

du groupe G vers le groupe général linéaire. De cette façon, l'opération de groupe, qui peut être définie de façon abstraite, est transposée en la multiplication de matrices, ce qui la rend accessible à des calculs explicites.

Étant donnée une action de groupe, cela donne des moyens supplémentaires pour étudier l'objet sur lequel le groupe opère. Mais aussi des informations sur le groupe lui-même. Les représentations de groupes sont un principe d'organisation de la théorie des groupes finis, des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes topologiques, en particulier les groupes compacts ou localement compacts.

Groupes de Galois

Article détaillé : Groupe de Galois.

Les groupes de Galois ont été développés pour aider à la résolution d'équations polynomiales en identifiant leurs symétries. Par exemple, les solutions de l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0 sont données par :

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.

L'échange de "+" et "-" dans l'expression, c'est-à-dire la permutation des deux solutions de l'équation, peut être vu comme une action de groupe très simple. Des formules similaires sont connues pour les équations cubiques et quartiques, mais n'existent pas en général pour les équations polynomiales de degré 5 ou davantage. Les propriétés abstraites des groupes de Galois associés à des polynômes donnent un critère permettant de déterminer si une équation polynomiale est résoluble par radicaux, c'est-à-dire si les solutions peuvent être exprimées à partir des coefficients du polynôme en utilisant seulement l'addition, la multiplication et les racines ne, comme dans la formule ci-dessus.

Le problème peut être traité en utilisant la théorie des corps, en considérant le corps de rupture du polynôme. La théorie de Galois moderne généralise les groupes de Galois évoqués ci-dessus aux extensions de corps et établit, par le théorème fondamental de la théorie de Galois, une relation précise entre les corps et les groupes, soulignant une fois de plus le rôle important des groupes dans les divers champs des mathématiques.

Groupes finis

Article détaillé : Groupe fini.

Un groupe est dit fini s'il possède un nombre fini d'éléments. Le nombre de ses éléments est appelé l'ordre de ce groupe. Les groupes symétriques SN, groupes des permutations de N lettres, sont particulièrement importants. Par exemple, le groupe symétrique sur 3 lettres ABC contient les six permutations des trois lettres : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA. Ces groupes sont importants car tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique SN, pour une certaine valeur de N (théorème de Cayley). De manière analogue au groupe des symétries du carré vu plus haut, S3 peut être vu comme le groupe des symétries d'un triangle équilatéral.

L'ordre d'un élément a d'un groupe G est le plus petit entier positif n tel que an = e, où an représente

\underbrace{{} \  a \ \cdots\  a\  {}}_{n \text{ facteurs}},

c'est-à-dire la répétition de l'opération • sur n copies de a. Dans un groupe infini, un tel ordre n peut ne pas exister, dans ce cas on dit que l'ordre de a est l'infini. L'ordre d'un élément est égal à l'ordre du groupe cyclique engendré par cet élément.

Des techniques de comptage plus sophistiquées produisent des informations plus précises sur les groupes finis : le théorème de Lagrange indique que, pour un groupe fini G, l'ordre de tous sous-groupe H de G divise l'ordre de G. Les théorèmes de Sylow donnent des réciproques partielles.

Le groupe diédral D4 est un groupe fini d'ordre 8. L'ordre de r1 est 4, de même que l'ordre du sous-groupe R engendré par cette rotation. L'ordre des réflexions fv etc, est 2. Ces ordres divisent 8, comme l'indique le théorème de Lagrange.

Classification des groupes simples finis

La classification des groupes finis mène rapidement à des mathématiques profondes et difficiles. D'après le théorème de Lagrange, les groupes finis d'ordre p, où p est un nombre premier, sont nécessairement cycliques, abéliens et isomorphes à Zp. On peut également montrer que les groupes d'ordre p2 sont abéliens. Ce résultat ne se généralise pas à p3, comme le montre le groupe diédral D4 non abélien d'ordre 8 = 23. Un système de calcul formel peut être utilisé pour établir une liste des petits groupes, mais il n'existe aucune classification de tous les groupes finis.

Une étape intermédiaire est la classification des groupes simples finis. Un groupe non trivial G est dit simple si ses seuls sous-groupes normaux sont le groupe trivial (réduit à l'élément neutre simple) et le groupe G lui-même. Le théorème de Jordan-Hölder désigne les groupes simples comme étant les « briques » utilisées pour construire tous les groupes finis. L'élaboration de la liste des groupes finis simples fut un résultat majeur de la théorie des groupes contemporaine[6]. Richard Borcherds, lauréat de la médaille Fields en 1998, parvint à prouver les conjectures monstrous moonshine, une relation surprenante et profonde entre le plus grand groupe sporadique fini simple (le groupe Monstre) et certaines formes modulaires, qui font partie de l'analyse complexe et de la théorie des cordes, une théorie supposée unifier la description de nombreux phénomènes physiques.

Groupes munis d'une autre structure

De nombreux groupes sont en même temps des exemples d'autres structures mathématiques. Dans le langage de la théorie des catégories, il existe des groupes dans une catégorie, ce qui signifie qu'il existe des objets (c'est-à-dire des exemples d'une autre structure mathématique) accompagnés de transformations (appelées morphismes) qui imitent les axiomes de groupe. Par exemple, chaque groupe est aussi un ensemble, donc un groupe est un objet groupe dans la catégorie des ensembles.

Groupes topologiques

Article détaillé : Groupe topologique.
Le cercle trigonométrique du plan complexe muni de la multiplication usuelle est un groupe. Il est topologique car la multiplication et l'addition sont continues. C'est aussi une variété car chaque petit morceau (comme celui indiqué en rouge) est semblable à la droite réelle. Ces deux propriétés en font un groupe de Lie.

Certaines espaces topologiques peuvent être munis d'une loi de groupe. Pour que la loi du groupe et la topologie interagissent correctement, les opérations du groupe doivent être continues, c'est-à-dire que gh, et g−1 ne doivent pas beaucoup varier se g et h varient peu. De tels groupes sont dits groupes topologiques. Les exemples les plus courants sont le groupe des nombres réels non nuls, muni de la multiplication usuelle (R \ {0}, ·), ainsi que les corps topologiques semblables comme celui des nombres complexes ou les nombres p-adiques. Tous ces groupes sont localement compacts, ils ont donc une mesure de Haar et peuvent être étudiés via l'analyse harmonique. La mesure de Haar offre un formalisme abstrait des intégrales invariantes. L'invariance signifie, dans le cas des nombres réels par exemple :

\int f(x)\,dx = \int f(x+c)\,dx

pour toute constante c. Les groupes de matrices à coefficients dans ces corps relèvent de ce régime, comme les anneaux adèles et les groupes algébriques adéliques qui sont fondamentaux en théorie des nombres. Les groupes de Galois d'extensions de corps infinis comme le groupe de Galois absolu peuvent aussi être équipés d'une topologie, la topologie de Krull, qui est à son tour centrale pour généraliser la connexion entre les corps et les groupes d'extensions de corps infinis esquissée plus haut. Une généralisation avancée de cette idée, adaptée aux besoins de la géométrie algébrique, est le groupe fondamental étale.

Groupes de Lie

Article détaillé : Groupe de Lie.

Les groupes de Lie (du nom de Sophus Lie) sont des groupes qui ont une structure de variété différentiable, c'est-à-dire qui sont des espaces localement semblables à un espace euclidien d'une certaine dimension. Là encore, la structure additionnelle — ici, la structure de variété — doit être compatible avec celle de groupe, c'est-à-dire que les fonctions correspondant à la multiplication et à l'inverse doivent être différentiables.

Un exemple standard est le groupe général linéaire introduit plus haut : il est un sous-ensemble ouvert de l'espace de toutes les matrices carrées à n lignes et n colonnes car défini par l'ensemble des matrices carrées A telles que

det (A) ≠ 0,

où det désigne le déterminant, qui est une application continue.

Les groupes de Lie sont d'une importance fondamentale en physique : le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne les symétries en physique. Les rotations, ainsi que les translations dans l'espace et le temps, sont des symétries de base des lois de la mécanique. Elles peuvent notamment être utilisées pour construire des modèles simples — imposer par exemple un axe de symétrie à une situation conduit généralement à une nette simplification des équations nécessaires à sa description physique. Une autre exemple est la transformation de Lorentz, qui relie les mesures du temps et de la vitesse de deux observateurs en mouvement relatif. Elle peut être déduite par un raisonnement purement théorique sur le groupe des transformations de Galilée de l'espace de Minkowski. Ce dernier sert — en l'absence d'une gravitation significative — à modéliser l'espace-temps en relativité restreinte. Le groupe des isométries de l'espace de Minkowski est appelé Groupe de Poincaré. De ce fait, celui-ci joue un rôle pivot en relativité restreinte et, par conséquent, pour la théorie quantique des champs.

Généralisations

Structures algébriques semblables aux groupes
Totalité Associativité Élt neutre Division
Groupe Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui
Monoïde Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui Non Non
Semi-groupe Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui Non Non Non Non
Boucle Yes check.svg Oui Non Non Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui
Quasigroupe Yes check.svg Oui Non Non Non Non Yes check.svg Oui
Magma Yes check.svg Oui Non Non Non Non Non Non
Groupoïde Non Non Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui
Catégorie Non Non Yes check.svg Oui Yes check.svg Oui Non Non

En algèbre générale, des structures plus générales sont définies en omettant certains axiomes de la définition des groupes. Par exemple, si la condition que chaque élément possède un inverse est éliminée, on obtient une structure algébrique appelée monoïde. Les nombres entiers naturels N, munis de l'addition, forment un monoïde, de même que l'ensemble des entiers relatifs non nuls munis de la multiplication (Z \ {0}, ·) vu plus haut. Il existe une méthode générale pour ajouter de façon formelle des inverses aux éléments d'un monoïde commutatif, de façon analogue à celle dont (Q \ {0}, ·) est dérivé de (Z \ {0}, ·). Le groupe ainsi obtenu est appelé groupe de Grothendieck.

Un groupoïde est semblable à un groupe, si ce n'est que la loi a • b n'est pas définie pour tous les éléments a et b. Les groupoïdes apparaissent dans l'étude de formes plus compliquées de symétries, souvent dans les structures topologiques ou analytiques, comme le groupoïde fondamental. Le tableau ci-contre donne différentes structures généralisant celle de groupe.

il existe 129 groupoides commutatifs à 5 éléments; mais comment les construire?

Annexes

Bibliographie

  • Roger Godement, Introduction à la théorie des groupes de Lie, Springer, 2004, 305 p. (ISBN 3540200347) 
  • Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Pfeiffer, Une histoire des mathématiques, Routes et dédales, Éditions du Seuil, 1986, 314 p. (ISBN 2020091380) 
  • Daniel Perrin, Cours d'algèbre, Éditions de l'École Normale Supérieure de Jeunes Filles, 1981 (ISBN 2-85929-011-7) 
  • Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
  • Henri Poincaré, Science et méthode, Flammarion, Paris, 1947, 314 p. 
  • Edmond Bauer, « Introduction à la théorie des groupes et à ses applications en physique quantique », dans Annales de l'Institut Henri Poincaré, vol. 4, no 1, 1933, p. 1-170 [texte intégral] 

Notes

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « group (algebra) ».
  1. Poincaré 1947, p. 30-31
  2. « Lorsqu'on aborde un chapitre quelconque de la théorie des groupes, [...] l'on ne peut échapper à l'impression d'atteindre un domaine profond et central des mathématiques et de la logique. Cela est si vrai qu'il est impossible de faire ni physique, ni géométrie, sans se servir, de façon plus ou moins consciente, du concept de groupe. », Bauer 1933.
  3. a , b  et c Dahan-DalmedicoPfeiffer 1986
  4. Perrin 1981, ch.1 : « L'intérêt des sous-groupes distingués est de permettre le « dévissage » des groupes. »
  5. a  et b Bauer 1933.
  6. Voir par exemple Puig, Lluis, [pdf] La classification des groupes finis simples : bref aperçu et quelques conséquences internes, Séminaire Bourbaki, 24, 1981-1982.

Voir aussi

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