4-polytope régulier convexe
Un hypercube en rotation

En mathématique, un polytope régulier convexe à 4 dimensions (ou polychore) est un polytope à 4 dimensions qui est à la fois régulier et convexe. Ce sont les analogues en 4 dimensions des solides de Platon (3 dimensions) et des polygones réguliers (2 dimensions).

Ces polytopes furent décrits la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIXe siècle. Schläfli découvrit qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leur côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle, leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Sommaire

Propriétés

Caractéristiques

Le tableau suivant résume les caractéristiques principales des polychores réguliers :

Polychore Symbole de Schläfli Sommets Arêtes Faces Cellules Figure de sommet Dual Groupe de Coxeter Ordre
Pentachore {3,3,3} 5 10 10
(triangles)
5
(tétraèdres)
Tétraèdre (Lui-même) A4 120
Tesseract {4,3,3} 16 32 24
(carrés)
8
(cubes)
Tétraèdre Hexadécachore B4 384
Hexadécachore {3,3,4} 8 24 32
(triangles)
16
(tétraèdres)
Octaèdre Tesseract B4 384
Icositétrachore {3,4,3} 24 96 96
(triangles)
24
(octaèdres)
Cube (Lui-même) F4 1 152
Hécatonicosachore {5,3,3} 600 1 200 720
(pentagones)
120
(dodécaèdres)
Tétraèdre Hexacosichore H4 14 400
Hexacosichore {3,3,5} 120 720 1 200
(triangles)
600
(tétraèdres)
Icosaèdre Hécatonicosachore H4 14 400

Dimensions

Le tableau suivant résume certaines propriétés géométriques des polychores réguliers :

Dans les formules, φ est le nombre d'or et l'arête est de longueur unité.

Polychore V S R r θ
Pentachore \frac{\sqrt{5}}{96} \frac{5\sqrt{2}}{12} \frac{\sqrt{10}}5 \frac{\sqrt{10}}{20} \frac\pi2
Tesseract 1\, 8\, 1\, \frac12 \arccos\frac14
Hexadécachore \frac16 \frac{4\sqrt{2}}{3} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{4} \frac{2\pi}{3}
Icositétrachore 2\, 8\sqrt{2} 1\, \frac{\sqrt{2}}2 \frac{2\pi}{3}
Hécatonicosachore \frac{15(47\varphi+29)}{2} 60(7\varphi+4)\, (\varphi+1)\sqrt{2} \frac{3\varphi+2}{2} \frac{4\pi}{5}
Hexacosichore \frac{25(2\varphi+1)}{4} 50\sqrt{2} \varphi\, \frac{(2\varphi+1)\sqrt{2}}{2} 2 \arctan\left\{ (2\varphi+1)\sqrt3 \right\}

Représentations

Le tableau suivant recense quelques projections particulières des polychores.

Polychore Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Polygone de Pétrie Projection orthographique solide Diagramme de Schlegel Projection stéréographique
Pentachore {3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4-simplex t0.svg Tetrahedron.png
Tétraèdre
Schlegel wireframe 5-cell.png Stereographic polytope 5cell.png
Tesseract {4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4-cube t0.svg Hexahedron.png
Cube
Schlegel wireframe 8-cell.png Stereographic polytope 8cell.png
Hexadécachore {3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 4-cube t3.svg 16-cell ortho cell-centered.png
Cube
Schlegel wireframe 16-cell.png Stereographic polytope 16cell.png
Icositétrachore {3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24-cell t0 F4.svg Ortho solid 24-cell.png
Cuboctaèdre
Schlegel wireframe 24-cell.png Stereographic polytope 24cell.png
Hécatonicosachore {5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 120-cell graph H4.svg Ortho solid 120-cell.png
Triacontaèdre rhombique tronqué
Schlegel wireframe 120-cell.png Stereographic polytope 120cell.png
Hexacosichore {3,3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 600-cell graph H4.svg Ortho solid 600-cell.png
Pentaki-icosidodécaèdre
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png Stereographic polytope 600cell.png

Liste

Pentachore

Article détaillé : Pentachore.
Un pentachore en rotation

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraédrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

  • 5 sommets
  • 10 arêtes
  • 10 faces triangulaires
  • 5 cellules tétraédriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie A4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

_Schlegel wireframe 5-cell.png Complete graph K5.svg

Tesseract

Article détaillé : Tesseract .

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

  • 16 sommets
  • 32 arêtes
  • 24 faces carrées
  • 8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

_Schlegel wireframe 8-cell.png Hypercubestar.svg

Hexadécachore

Article détaillé : Hexadécachore.
Un hyperoctaèdre en rotation

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

  • 8 sommets
  • 24 arêtes
  • 32 faces triangulaires
  • 16 cellules tétraédriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B4. Sa figure de sommet est un octaèdre.

_Schlegel wireframe 16-cell.png Cross graph 4.svg

Icositétrachore

Article détaillé : Icositétrachore.

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

  • 24 sommets
  • 96 arêtes
  • 96 faces triangulaires
  • 24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie F4. Sa figure de sommet est un cube.

Schlegel wireframe 24-cell.png 24-cell graph ortho.png

Hécatonicosachore

Article détaillé : Hécatonicosachore.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

  • 600 sommets
  • 1200 arêtes
  • 720 faces pentagonales
  • 120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est H4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

_Schlegel wireframe 120-cell.png 120-cell petrie polygon.svg

Hexacosichore

Article détaillé : Hexacosichore.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

  • 120 sommets
  • 720 arêtes
  • 1200 faces triangulaires
  • 600 cellules tétraédriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est H4. Sa figure de sommet est un icosaèdre.

_Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png 600-cell petrie polygon.svg

Notes et références


Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Bibliographie

  • (en) H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry [détail des éditions]
  • (en) H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes (en), 3e éd., Dover Publications, 1973 (ISBN 978-0-486-61480-9)
  • (en) D.M.Y. Sommerville (en), An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930 (Dover Publications, 1958), chap. X: The Regular Polytopes

Wikimedia Foundation. 2010.

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