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Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Hurwitz.

En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz, dit que pour tout nombre irrationnel $x$ , il existe une infinité de rationnels $h / k$ tels que

$\left|x-\frac h k\right|<\frac1{\sqrt5\, k^2}$ .

Précisions

L'hypothèse d'irrationalité de $x$ est indispensable.
L'ensemble des couples $(h,k)\in\Z\times\N^*$ vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels $h$ et $k$ sont premiers entre eux l'est.
Les rationnels $h / k$ qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel $x$ (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne).
La constante $\sqrt 5$ est optimale : pour $x$ égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, $\sqrt 5$ par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels $h / k$ .

Démonstration

Optimalité de la constante $\sqrt 5$ .

Prenons Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): c=\frac\sqrt5\alpha

avec  $0 < α < 1$  et . Si , alors, on souhaite avoir . En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve

$h^2-hk-k^2=\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta\,$ . Si on considère $P (h) = h 2 - h k - k 2$ comme un polynôme en $h$ , on a $P(h)=0\Leftrightarrow h=\frac{(1\pm\sqrt5)k}2$ , mais, comme $h$ et $k$ sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour $P (k)$ . Donc $|h^2-hk-k^2|\geq 1$

$1\le\left|\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta~\right|\le|\theta|+\frac{|\theta|^2}{5k^2}\le\alpha+\frac{\alpha^2}{5k^2}$

Soit encore $k^2<\frac{\alpha^2}{5(1-\alpha)}$ , ce qui donne un nombre fini de solutions pour $k$ . Comme $h$ doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.

Preuve du théorème proprement dit.

Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec $\frac{a}{b}$ et $\frac{a'}{b'}$ deux termes consécutifs tels que $\frac{a}{b}<x< \frac{a'}{b'}$ . On peut vérifier que :

- soit $b' > \frac{b \sqrt{5}+1}{2}$
- soit $b' < \frac{b \sqrt{5}-1}{2}$

Si $\omega = \frac{b'}{b}$ , on a $\omega > \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ou $\omega < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ . On peut montrer que $1+\omega ^{-2} > \sqrt5\omega^{-1}$ , d'où

$\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right) > \frac{1}{\omega b^2}$ . Mais d'un autre côté, $\frac{a'}{b'} - \frac{a}{b} < \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right)$ , ce qui termine l'ébauche de démonstration.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hurwitz's theorem (number theory) » (voir la liste des auteurs)
(de) Adolf Hurwitz, « Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche », dans Mathematische Annalen, vol. 39, n^o 2, 1891, p. 279-284 [texte intégral]
(en) G. H. Hardy et E. M. Wright (en), An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions] (2008) théorème 193 p. 209
(en) William J. LeVeque (en), Topics in number theory, Addison-Wesley, 1956

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