Théorème de Vaschy-Buckingham

En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham^[1],[2], ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu p = n − k variables sans dimension construites à partir des variables originelles.

Énoncé de Vaschy^[1]

Soit a₁, a₂, a₃,…a_n des quantités physiques, dont les p premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les (n − p) dernières à des unités dérivées des p unités fondamentales (par exemple a₁ peut être une longeur, a₂ une masse, a₃ un temps, et les (n − 3) autres quantités a₄, a₅,…a_n seraient des forces, des vitesses, etc.; alors p = 3). Si entre ces n quantités il existe une relation :

$F(a_1,a_2,\ldots a_n)=0,$

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en (n − p) paramètres au plus, soit:

$f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0,$

les paramètres x₁, x₂,…x_n étant des fonctions monomes de a₁, a₂,…a_n (par exemple $x_1=Aa_1^{\alpha1}a_2^{\alpha2}\ldots a_n^{\alpha n}$).

Démonstration de Vaschy^[1]

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités a_{p + 1}, a_{p + 2},…a_n étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants α, β,… α', β'… tels que les valeurs numériques des rapports

$\frac{a_{p+1}}{a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda}}=x_1,\ \ \frac{a_{p+2}}{a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'}}=x_2,\ldots,$

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi a₁, a₂, a₃, a₄ désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport $\frac{a_4}{a_1a_2a_3^{-2}}$ auraient une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:

$F(a_1,a_2,\ldots a_p,a_{p+1},a_{p+2},\ldots)=0,$

peut s'écrire:

$F(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda},x_2a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'},\ldots)=0,$

ou plus simplement

$f(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.$

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités a₁, a₂,… a_p dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de x₁, x₂,… x_{n − p} ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de a₁, a₂,… a_p, doit être indépendantes de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:

$f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.$

Généralisation

Dans l'énoncé de Vaschy, les p premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les p premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimension de ces quantités ne peut être écrite comme une fonction monome des dimensions des autres quantités. Par exemple prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique ρ, une aire A, une vitesse V et une accélération a. Les variables ρ, A et V sont dimensionnellement indépendante par contre les variables A, V et a ne le sont pas car [a] = [V]²[A] ^{− 1 / 2[3]}.

Origine du nom "Théorème Π"

Ce théorème est aussi nommé "Théorème Π" car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre Π pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. Cette pratique a probablement pour origine l'article de Buckingham^[2].

Exemple d'application

Démonstration de la 3^e loi de Kepler

Soit un objet de masse m_p (une planète), en orbite elliptique de demi grand axe a et de période T autour d'un objet de masse m_s (Soleil), masse beaucoup plus élevé que la masse du premier objet de tel sorte que l'on puisse considérer que ce dernier est fixe dans l'espace. Nous cherchons à obtenir une relation liant la période de rotation à la longueur du demi grand axe.

D'après la loi de la gravitation universelle, en notant $\mathbf{r}$, le vecteur ayant pour origine le soleil et extrémité la planète, on a la relation :

$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{G\cdot m_s\cdot \mathbf{r}}{\Vert\mathbf{r}\Vert^3}.$

On en déduit donc que notre problème est indépendant de la masse de la planète, m_p.

Ainsi notre problème peut s'écrire sous la forme :

f(m_s,G,T,a) = 0.

Nous avons donc un problème dépendant de 4 paramètres physiques dépendants de 3 unités fondamentales (ou dimensions) : la masse, $\mathcal{M}$; le temps, $\mathcal{T}$; la longueur $\mathcal{L}$. Notre problème dépend donc d'une seule variable adimensionnelle que l'on peut nommer Π.

Les dimensions des 4 variables physiques sont:

• $[m_s]=\mathcal{M}$
• $[G]=\mathcal{L}^3\mathcal{M}^{-1}\mathcal{T}^{-2}$
• $[T]=\mathcal{T}$
• $[a]=\mathcal{L}$

On peut donc choisir $\Pi=\frac{G\cdot T^2\cdot m_s}{a^3}$, et notre problème peut s'écrire:

F(Π) = 0.

Donc $\frac{G\cdot T^2\cdot m_s}{a^3}$ est une constante, valable dans tout système planétaire où la masse de l'étoile est très grande devant celle des planètes et où les planètes décrivent des trajectoires elliptiques.

Références

1. ↑ ^{a, b et c} Vaschy, A. (1892): "Sur les lois de similitude en physique". Annales Télégraphiques 19, 25-28
2. ↑ ^{a et b} Buckingham, E. (1914): "On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations". Physical Review 4, 345-376
3. ↑ Barenblatt, G.I. (1996): "Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics"

• Généralisation du théorème dans le cas de classes de problèmes où certaines variables sont fixes

Voir aussi

• Adimensionnement
• Ordre de grandeur
• Ordre de grandeur littéral
• Système d'unités naturelles
• Analyse dimensionnelle
• Nombre sans dimension