Bialgebre
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Bialgèbre
En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.
Définition
Si k est un corps, une bialgèbre est un k-espace vectoriel B muni de quatre applications linéaire :
- Un produit
- Une unité
- Un coproduit
- Une counité
telles que (B,μ,η) soit une algèbre et (B,Δ,ε) une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
- Δ et ε sont des morphismes d'algèbre.
- μ et η sont des morphismes de coalgèbre.
Motivations
La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.
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