Quaternions de Hurwitz

Les quaternions de Hurwitz portent ce nom en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

Definition

Quaternions

Soit $\mathbb{A}$ un anneau. On definit l'algèbre des quaternions $\mathbb{H}(\mathbb{A})$ comme le $\mathbb{A}$-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

• 1 élément neutre pour la multiplication
• $i^2=j^2=k^2=-1\,$
• et les identités:
  • $i=j\cdot k=-k\cdot j\,$
  • $j=k\cdot i=-i\cdot k\,$
  • $k=i\cdot j=-j\cdot i\,$

Quaternions de Hurwitz

Soit $\mathbb{H}(\mathbb{Z})$, l'algèbre des quaternions sur l'anneau $\mathbb{Z}$. On définit les quaternions de Hurwitz Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \tilde\mathbb{H}(\mathbb{Z})

comme suit :

Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \tilde\mathbb{H}(\mathbb{Z})=\mathbb{H}(\mathbb{Z}) \cup \left ( \frac{1+i+j+k}{2}+ \mathbb{H}(\mathbb{Z}) \right)

Propriétés

Les quaternions de Hurwitz forment un anneau euclidien à gauche et à droite.

Un anneau commutatif intègre A est dit euclidien s'il est muni d'un "préstathme euclidien", c'est-à-dire d'une application v de A dans N vérifiant que pour deux éléments non nuls quelconques a, b de A tels que b ne divise pas a, il existe des éléments q, r de A tels que a=bq+r et v(r)<v(b), et cette définition se latéralise pour des anneaux non commutatifs^{[réf. souhaitée]}.