- Processus de Galton-Watson
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Le processus de Galton-Watson est un processus stochastique permettant de décrire des dynamiques de populations.
Sommaire
Historique
À l'origine, ce modèle a été introduit par Sir Francis Galton en 1873 en vue d'étudier la statistique des patronymes dans l'Angleterre victorienne. Supposons que chaque adulte mâle transmette son patronyme à chacun de ses enfants. Supposons également que le nombre d'enfants de chaque homme soit une variable aléatoire entière (et que la distribution de probabilité soit la même pour tous les hommes dans une lignée). Alors, un patronyme dont les porteurs ont un nombre d'enfant strictement inférieur à 1 en moyenne est amené à disparaître. Inversement, si le nombre moyen d'enfants est supérieur à 1, alors la probabilité de survie de ce nom est non-nulle et en cas de survie, le nombre de porteurs du patronyme connait une croissance exponentielle.
Formulation générale
On suppose l'existence d'une population d'individus qui se reproduisent de manière indépendante. Chaque individu i donne naissance à
individus et meurt. On suppose que les
sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs entières suivant la distribution
Par exemple,
- si, avec probabilité
alors l'individu i meurt sans se reproduire ;
- si, avec probabilité
alors il y a un remplacement un-pour-un de l'individu i ;
- etc ...
Notation — La fonction génératrice
associée à la distribution de probabilité
définie par :
est d'une importance particulière dans la discussion des résultats essentiels sur les processus de Galton-Watson.
Paramètre critique et classification des processus de Galton-Watson
Notons
la taille de la population à la n-ème génération. On suppose souvent que la population possède un seul ancêtre, ce qui se traduit par
Z0 = 1. Le nombre
désigne le nombre moyen d'enfants d'un individu typique de la population considérée. L'évolution de la taille moyenne de la population est gouvernée par la formule de récurrence suivante :
elle-même conséquence de la formule de Wald, d'où il résulte que
Définition — Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite
sont nuls, on dit qu'il y a extinction de la population.
Classification des processus de Galton-Watson — Il existe deux régimes séparés par une valeur critique du paramètre
:
- Si
le processus de Galton-Watson est dit sous-critique. L'extinction de la population se produit avec probabilité 1 ;
- Si
le processus de Galton-Watson est dit sur-critique. Alors la probabilité de survie de ce nom est non-nulle (la probabilité d'extinction est inférieure strictement à 1). En cas de survie, le nombre de porteurs du patronyme connait une croissance exponentielle.
- Si
alors le processus de Galton-Watson est dit critique. Son comportement est plus complexe et sera discuté dans la suite.
Notation de Neveu
Une notation due à Neveu permet de décrire rigoureusement l'évolution de la population à l'aide d'un arbre planaire enraciné, qui est en fait l'arbre généalogique de cette population. Cet arbre planaire enraciné peut être décrit de manière non ambigüe par la liste de ses sommets, chacun désigné par une suite finie d'entiers, qui sont les positions, au sein de leur fratrie, des ancêtres (ou ascendants) de ce sommet : le sommet 2|4|3 désigne le 3ème fils du 4ème fils du 2ème fils de l'ancêtre (l'ancêtre étant lui-même désigné par la suite vide, notée
). Par convention, l'ancêtre est le sommet initial de l'arête racine, et le sommet final de l'arête racine est le fils ainé de l'ancêtre : en tant que tel, il est donc noté 1. La longueur de la suite associée à un sommet est la hauteur (ou la profondeur) du sommet, i.e. la distance entre ce sommet et le début de la racine, qui représente l'ancêtre : en filant la métaphore, un sommet de hauteur n représente un individu appartenant à la n-ème génération de la population fondée par l'ancêtre. Les 5 arbres à 3 arêtes :
sont ainsi décrits par les 5 ensembles de motsAvec cette notation, un arbre planaire encode commodément une réalisation de processus de Galton-Watson avec extinction : cet arbre est alors appelé arbre de Galton-Watson. Rien ne s'oppose à définir un arbre planaire infini à l'aide de la notation de Neveu, ce qui permet d'encoder les réalisations de processus de Galton-Watson où la population ne s'éteint pas.
Exemple :L'arbre de la figure ci-contre correspond à une suite de variables aléatoires
ainsi définies :
Ainsi, un processus de Galton-Watson peut-être vu comme une fonctionnelle déterministe d'une famillede variables aléatoires indépendantes et de même loi
la variable
désignant la progéniture de l'individu i (le nombre d'enfants auxquels ils donne naissance en mourant). Ici
désigne l'ensemble (dénombrable) des suites d'entiers de longueurs finies (éventuellement de longueur nulle dans le cas de
) :
Exemple :Certaines variables aléatoires de la suite
n'ont pas d'influence sur le processus de Galton-Watson : dans l'exemple ci-contre,
ou
n'ont pas d'importance car l'ancêtre a strictement moins de 4 enfants (
) et l'individu 12 a strictement moins de 6 enfants (
). De même les progénitures des individus de la 5ème génération (les
correspondant aux suites i de longueur 5) n'influencent pas cette réalisation du processus de Galton-Watson, car la population s'éteint à la 4ème génération (
).
Étude fine de la taille des générations
Notons
la fonction génératrice de la variable aléatoire
définie par
Posons
où les Xi sont des variables aléatoires indépendantes, toutes de loi
;
est la k ème puissance de convolution de la loi
En vertu de la propriété de composition des fonctions génératrices, on a la relation suivante :
Relation de récurrence fondamentale —DémonstrationPour pouvoir appliquer la propriété de composition des fonctions génératrices, il faut se convaincre que
(l'effectif de la n+1 ème génération) a même loi que la somme de
variables aléatoires indépendantes, toutes de loi
et indépendantes de
Bien sûr,
est la somme des progénitures des
individus appartenant à la n ème génération, mais, contrairement au contexte de la propriété de composition des fonctions génératrices, on ne choisit pas les
premiers termes d'une suite de variables aléatoires i.i.d. indexées par
: dans la notation de Neveu, par exemple, la suite de variables aléatoires i.i.d. est indexée par
et les
variables de la suite intervenant dans la somme sont choisies en fonction de toute l'histoire de la population, jusqu'à la n-ème génération (non incluse). Une fois qu'on s'est convaincu que, malgré cela,
(l'effectif de la n+1 ème génération) a même loi que la somme de
variables aléatoires indépendantes, toutes de loi
et indépendantes de
on en déduit que
DémonstrationUn énoncé précis utilise la notion de loi conditionnelle : pour pouvoir appliquer la propriété de composition des fonctions génératrices, on doit vérifier que, pour tout k, la loi conditionnelle de
sachant l'évènement
est la loi de la somme de k variables aléatoires indépendantes, toutes de loi
loi décrite par
Pour vérifier cela, on est amené à calculer la loi conditionnelle sachant un évènement plus précis que
i.e. sachant la composition exacte de la n-ème génération. Soit L un ensemble d'éléments de
Notons
l'évènement :
En particulier les ancêtres des individus appartenant à L sont connus, donc
apporte une information sur les générations 1, 2, ... jusqu'à la génération n-1. On constate que l'évènement
appartient à la tribu engendrée par la famille des
où i est une suite de longueur inférieure ou égale à n-1. Par ailleurs,
Comme L est disjoint de l'ensemble des suites de longueur inférieure ou égale à n-1, le lemme de regroupement entraine que
Cette dernière probabilité dépend de
mais, surtout, elle dépend de L uniquement à travers son cardinal
Donc, dès que
en vertu d'une variante de la formule des probabilités totales. Accessoirement ceci montre que la suite
possède la propriété de Markov. Plus précisément, c'est une chaine de Markov homogène de probabilité de transition
En remarquant que
on en déduit, par récurrence, que
puis la relation de récurrence fondamentale. On peut aussi obtenir cette relation plus directement, en décomposant
différemment (comme somme de X copies de
plutôt que comme somme de
copies de X).
Remarques :- La relation de récurrence sur l'espérance de
- découle alors de la formule de dérivation des fonctions composées.
- À l'aide de la relation de récurrence fondamentale, on trouve aussi, le cas échéant, une formule de récurrence pour la variance de
- La démonstration de la formule de récurrence fondamentale montre aussi (modulo quelques modifications) que la suite
est une chaine de Markov dont la matrice de transition
est définie par
Cas sur-critique
Dans le cas sur-critique, la taille de la population croit à vitesse exponentielle sur un ensemble assez large.
Théorème — Si la loi de la progéniture est intégrable, de moyenne m>1, alors il existe une variable aléatoire M telle que, presque sûrement,
Si, de plus, la loi de la progéniture est de carré intégrable, alors
Par ailleurs,
converge vers M dans L2.
Des résultats plus précis peuvent être obtenus grâce au théorème de Kesten-Stigum[1] [2].
DémonstrationSoit
une famille indépendante et identiquement distribuée de variables aléatoires de loi
, de moyenne
. On définit la filtration :
Alors le processus défini par récurrence par :
est un processus de Galton-Watson de loi de reproduction
. On définit alors le processus :
qui est une
-martingale. En effet,
ce qui entraîne que
Comme
est une martingale positive, elle converge presque sûrement vers une variable aléatoire réelle
Si on suppose de plus que
, on peut démontrer que l'ensemble
est de mesure positive, et qu'il est égal presque sûrement à l'ensemble de non-extinction de l'arbre
En effet, dans ce cas, un calcul par récurrence montre que
est bornée dans
On en déduit alors la convergence dans
de
vers
. On a alors, en particulier,
Par conséquent
sur un ensemble de mesure non-nulle.
Ainsi, presque sûrement,
est une bonne approximation, au premier ordre, du nombre
d'individus de la génération
du moins sur l'ensemble
ensemble qui a une probabilité non nulle.
Un calcul explicite
Il y a assez peu d'exemples où la formule de récurrence fondamentale conduit à un calcul explicite de
L'exemple le plus connu est celui où la loi de reproduction est un mélange de masse de Dirac en 0 et de loi géométrique,
d'espérance
Cela correspond exactement aux fonctions génératrices
qui sont des homographies :
D'après la classification des homographies en fonction du nombre de points fixes, l'homographie
est conjuguée à des applications dont les itérées se calculent simplement, à savoir à
dans les cas non critiques (deux points fixes, 1 et
) et à
dans le cas critique (un point fixe double, 1).
Cas non critique
Dès que
on trouve, par diagonalisation d'une application linéaire associée à l'homographie
ce qui entraine
et conduit à un calcul explicite de
Cas critique
Le cas
est le cas critique
On trouve, toujours en raisonnant sur une application linéaire (non diagonalisable) associée à l'homographie
donc
Finalement
est une homographie :
ce qui correspond au choix de paramètres
suivant :
Ici T désigne la date d'extinction, i.e. le numéro de la première génération vide.
Probabilité d'extinction
Théorème — La probabilité d'extinction
d'un processus de Galton-Watson dont la distribution de la progéniture est
est la plus petite solution, dans l'intervalle [0,1], de l'équation
DémonstrationCela résulte de ce que
d'où il suit, par propriété de limite croissante, que
Par ailleurs la suite
est définie par
(car
), et par la relation de récurrence
ce qui conduit à voir
comme un point fixe de φ.
Pour démontrer la relation de récurrence sur
notons que
Donc
Maintenant, supposons qu'il existe un point fixe
de
dans l'intervalle [0,1]. Alors, la fonction
étant croissante sur l'intervalle [0,1],
entraine
puis, par récurrence,
Mais, d'une part,
(ce qui peut être réécrit
), d'autre part
Ainsi, la suite
est croissante et majorée par 1, donc convergente. De plus, on a vu que la suite
est majorée par tout point fixe
de
appartenant à l'intervalle [0,1]. La limite de la suite
est donc, elle aussi, majorée par tout point fixe
de
appartenant à l'intervalle [0,1]. Mais comme la fonction
est continue sur l'intervalle [0,1], sa limite est un des points fixes de la fonction
donc, forcément, le plus petit d'entre eux.
Comme
est une série entière de rayon de convergence au moins égal à 1, à coefficients positifs ou nuls,
est convexe (et même strictement convexe si p0+p1<1), et indéfiniment dérivable sur l'intervalle ]0,1[, et possède donc au plus 2 points fixes dans l'intervalle [0,1], sauf si
Un théorème analogue concernant les cartes planaires aléatoires (une généralisation naturelle des arbres aléatoires) a été démontré en 2007[3].
Exemple :- si
le théorème dit que la probabilité d'extinction
est nulle. Cela peut être vu directement sans difficulté, car
équivaut à
ce qui entraine immédiatement que chaque génération est constituée d'exactement un individu ;
- plus généralement, si
0 est point fixe, donc, d'après le théorème,
est nulle (on pouvait le voir directement, puisque, en ce cas, chaque individu de la population a au moins un enfant) ;
- si
les deux points fixes sont 1 et
donc, comme on pouvait s'y attendre, la probabilité d'extinction vaut 1 si
et vaut moins que 1 (en fait
) si
Ici, la valeur de
est difficile à calculer directement, sans utiliser le théorème. La figure ci-contre montre plusieurs valeurs de
et la probabilité d'extinction correspondante.
Plus généralement
Théorème — On distingue 3 cas :
- Cas souscritique (m<1). La probabilité d'extinction
vaut 1.
- Cas critique (m =1). La probabilité d'extinction
vaut 1, sauf si
et, dans ce dernier cas, la probabilité d'extinction est nulle.
- Cas surcritique (m>1). La probabilité d'extinction
est strictement inférieure à 1 (et est le plus petit point fixe de φ dans l'intervalle [0,1]).
DémonstrationCela résulte de ce que
En effet :
- Cas souscritique. Si m<1, la tangente en (1,1) au graphe de φ est, dans l'intervalle [0,1[, strictement au-dessus de la droite d'équation y=x, et, φ étant convexe, le graphe de φ est au-dessus de sa tangente, donc, lui aussi, strictement au-dessus de la droite d'équation y=x : le seul point fixe de φ est 1.
- Cas critique. Si m =1, la tangente en (1,1) au graphe de φ est la droite d'équation y=x. Si φ est strictement convexe, le graphe de φ est strictement au-dessus de sa tangente, donc le seul point fixe de φ est 1. Or φ est strictement convexe si et seulement si
(comme on le voit en calculant la dérivée seconde de φ). Sinon φ est une fonction affine, donc son graphe est confondu avec ses tangentes, en particulier, ici, avec la droite d'équation y=x. Donc
- Cas surcritique. Si m>1, la tangente en (1,1) au graphe de φ est strictement au-dessous de la droite d'équation y=x, donc, sur un intervalle [1-ε,1[ bien choisi, φ lui-même est strictement au-dessous de la droite d'équation y=x. En 0, par contre, comme
le graphe de φ est au-dessus de la droite d'équation y=x. Donc, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, φ possède un point fixe strictement plus petit que 1.
Le comportement du processus de Galton-Watson dans les cas souscritique et surcritique correspond à l'intuition. Par contre, le comportement du processus de Galton-Watson dans le cas critique aléatoire (l'extinction est certaine) est radicalement différent du comportement du processus de Galton-Watson dans le cas critique déterministe (chaque individu a exactement un enfant et l'extinction est impossible).
A voir aussi
Notes
- (en) H. Kesten et B. P. Stigum, « A Limit Theorem for Multidimensional Galton-Watson Processes », dans The Annals of Mathematical Statistics, vol. 37, no 5, octobre 1966, p. 1211-1223 [texte intégral]
- (en) Krishna B. Athreya, « A Simple Proof of a Result of Kesten and Stigum on Supercritical Multitype Galton-Watson Branching Process », dans The Annals of Mathematical Statistics, vol. 41, no 1, février 1970, p. 195-202 [texte intégral]
- (en) Jean-François Marckert et Grégory Miermont, « Invariance principles for random bipartite planar maps », dans Ann. Probab., vol. 35, no 5, 2007, p. 1642-1705 [texte intégral, lien DOI], Proposition 1.
Bibliographie
- (en) Krishna B. Athreya et Peter E. Ney, Branching processes, Dover Publications, 19 mars 2004, 2e éd., 304 p. (ISBN 978-0486434742)
- (en) Theodore E. Harris, The theory of branching processes, Dover Publications, mai 2002, 2e éd., 256 p. (ISBN 978-0486495088)
- L'article original de Galton et Watson: On the Probability of the Extinction of Families
- Thèse en ligne sur la dynamique des populations expliquant au chapître 1 le modèle de Galton-Watson
Liens utiles
- Sir Francis Galton
- Rev. Henry William Watson
- Arbre (graphe)
- Arbre de Galton-Watson
- Formule de Wald
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