Module de relaxation

En rhéologie, le module de relaxation permet de rendre compte de la relaxation de contrainte après une déformation.

Écriture générale d'une contrainte

La contrainte σ à un temps t ne dépend pour un fluide newtonien que du taux de déformation à ce même temps :

$\sigma(t) = \eta \dot\gamma(t)$.

Par contre, pour un fluide viscoélastique, cette même contrainte va dépendre de l'histoire des taux de déformation via le module de relaxation G(t) :

$\sigma(t) = \int_{-\infty}^{t} G(t-t') \dot\gamma(t') dt'$.

Physiquement, on s'attend à ce que cette fonction tende vers 0 lorsque t tend vers l'infini ; c'est la perte de mémoire des états les plus anciens.

Dans le cadre du modèle de Maxwell, on montre que :

G(t) = G₀e ^{− t / τ}

où τ = η / E est le temps de relaxation de Maxwell.

Module de cisaillement complexe

Expérimentalement, on applique des déformations sinusoïdales. On définit un cisaillement complexe :

γ(t) = γ₀e^iωt

ce qui amène à une contrainte complexe :

$\sigma(t)=i\omega \gamma(t) \int_0^{\infty} G(x) exp(-i\omega x) dx = G^*(\omega) \gamma(t)$

avec x = t − t'. G ^* est le module de cisaillement complexe. Celui-ci se décompose comme la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire :

G ^* = G' + iG''

où

• G' est le module élastique ou module de conservation, en phase avec la déformation,
• G'' est le module de perte en quadrature de phase avec la déformation.

Viscosité complexe

Il est par ailleurs possible de définir une viscosité complexe de la manière suivante :

$\sigma = \eta \dot\gamma = (\eta' - i \eta'') \dot\gamma$

avec

• $\eta' = \frac{G''}{\omega}$ associée au module de perte,
• $\eta'' = \frac{G'}{\omega}$ associée au module élastique.